優化思維品質 提升學科素養

郭嵐

摘 要：高中數學的學習過程中，學生需要通過大量的解題來實現對知識的有效掌握，所以解題教學是高中數學教學中非常重要的一部分.新課標對高中數學的教學也有著明確的要求，需要通過數學教學來對學生進行思維品質的優化，從而提升學生的科學素養.所以在解題教學中如何實現優化思維品質，提升科學素養是非常關鍵的內容.本文將通過相關例題來對高中數學解題教學中如何有效優化學生的思維品質從而提升學生的科學素養進行說明.

關鍵詞：高中數學；解題教學；思維品質；科學素養

數學學習的過程包括理論知識的學習和通過解題對理論知識進行應用這兩個過程，解題是數學學習過程中掌握數學知識的重要途徑，所以在高中數學的教學過程中解題教學是非常重要的組成部分.在解題教學的過程中需要教師通過解題訓練來對學生的思維品質進行優化，從而實現對學生科學素養的提升.但是在解題教學的過程中，部分教師更加關注學生的解題結果，關注學生程式化經驗性的解題方法而忽視了對學生審題和反思以及解題過程中的規范性和邏輯性的重視.這樣的填鴨式解題教學方式導致學生在進行解題學習的過程中出現“一聽就懂，一做就卡”的情況，進而導致學生的解題思維僵化，無法實現對試題的有效解答.所以如何有效優化學生的思維品質，提升學生的科學素養是解題教學的關鍵.

1 原題再現

【例題】 （2022年全國新高考Ⅰ卷數學第22題）已知函數f（x）=ex-ax和g（x）=ax-lnx有相同的最小值.

（1） 求a；

（2） 證明：存在直線y=b，其與兩條曲線y=f（x）和y=g（x）共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交點的橫坐標成等差數列.

2 教會學生對試題的思考是解題教學的首要任務

學生永遠是學習的主體，教學的過程就是教會學生如何去學習的過程，而不是將知識與方法通過硬性的方式傳遞給學生.所謂授人以魚不如授人以漁.教師需要通過正確的方式來對學生進行引導，引導學生去尋找解題的思路，從而實現對這類問題的掌握.所以在解題教學的過程中需要教師對學生進行解題思路的引導，通過對例題進行分析，幫助學生理解知識是如何應用的，例如在這個例題中第一個小問題就是對函數的最值問題的考查，只不過將具體的函數轉化成抽象函數.那么接下來解決抽象函數的最值問題最好的方法就是對函數進行求導，通過導函數來對函數的單調區間進行判定，從而確定函數的最小值.而在第二個問題中則需要通過假設存在這樣的一條直線，對直線存在的條件進行分析判定，從而證明問題.

3 尋找解題思路是解題教學的核心

對試題進行閱讀了解之后需要尋找具體的解題思路.數學教學的主要目的是對學生思維能力的培養，從而實現對學生數學思維的優化.

例題解析：通過對這個試題的閱讀可知，第一個問題是需要求a的值.那么根據題目中的已知條件可以發現給定的兩個函數有相同的最小值，所以在解題的過程中就需要對這兩個函數的單調性進行判斷，從而得到函數的最小值.所以在這個問題的解答過程中就需要通過合理的方式來對函數單調性進行判斷.而判斷函數單調性的方式就是對函數進行求導.首先f（x）=ex-ax的定義域是R，所以其導函數為f′（x）=ex-a，根據導函數可以知道當a≤0的情況下f′（x）＞0，這樣的結果就是函數f（x）沒有最小值，所以a＞0.然后再對函數g（x）=ax-lnx進行求導.首先還是需要對函數進行定義域的判定，可以知道g（x）=ax-lnx的定義域是（0，+∞），所以其導函數是g′（x）=a-1x=ax-1x.然后就需要通過導函數來對函數的單調區間進行判定.首先是對函數f（x）=ex-ax的單調區間進行判定.通過導函數f′（x）=ex-a可以知道當x＜lna時，f′（x）＜0，當x＞lna時，f′（x）＞0，所以就可以知道函數f（x）=ex-ax在（-∞，lna）上單調遞減，在（lna，+∞）上單調遞增，所以就可以得到函數f（x）=ex-ax的最小值是f（x）min=f（lna）=a-alna.然后需要對函數g（x）=ax-lnx的單調區間進行判斷.根據導函數g′（x）=ax-1x可以知道當0＜x＜1a時，g′（x）＜0，當x＞1a時，g′（x）＞0，所以函數g（x）=ax-lnx在0，1a上單調遞減，在1a，+∞上單調遞增.從而就能夠得到函數g（x）=ax-lnx的最小值是g（x）min=g1a=1-ln1a.結合題意就能夠得到a-alna=1-ln1a這樣的一個等量關系.同時結合前邊所得到的a＞0，就能夠得到這個式子與lna-a-1a+1=0等價.令h（a）=lna-a-1a+1（a＞0），通過對這個函數進行求導來對其單調性進行判定，從而就能夠得到h（a）在（0，+∞）上是單調遞增的，所以得到a=1.

對于第二個問題，通過（1）的計算得到a=1，這樣就可以得到兩個函數的最小值都是1.因為函數y=b與兩條函數相交，所以就需要根據b的取值進行判定.當b＜1時，函數y=b與兩個函數沒有交點；當b=1時，y=b與兩個函數分別有一個交點；當b＞1時，則y=b與兩個函數分別有兩個交點.這樣就能夠得到直線y=b，其與兩條曲線y=f（x）和y=g（x）共有三個不同的交點的情況的條件是b＞1，那么要存在三個不同的交點的情況就需要證明在b＞1的情況下存在y=b使其中的兩個交點重合.這樣剛好有三個交點，然后再對出現三個交點的情況下是否呈等差數列的情況進行判斷.

4 解題過程是解題教學的細節

對試題進行閱讀和分析后，需要通過解題過程來對解題分析進行體現.在數學解題教學的過程中教師需要教會學生如何將解題思路轉化為正確的解題答案.在這過程中需要學生通過相應的解題步驟來對解題過程進行體現.下邊將通過例題的解答來對解題的過程進行展現.

解：（1）對函數f（x）=ex-ax和g（x）=ax-lnx進行函數求導可得：

f′（x）=ex-a，g（x）=a-1x，

當a≤0時，f′（x）＞0，g′（x）＜0，這時兩個原函數均無最小值，與題意不符；

當a＞0時，函數f（x）=ex-ax在（-∞，lna）上單調遞減，在（lna，+∞）上單調遞增，

所以函數f（x）=ex-ax的最小值是f（x）min=f（lna）=a-alna.

函數g（x）=ax-lnx在0，1a上單調遞減，在1a，+∞上單調遞增，

所以函數g（x）=ax-lnx的最小值g（x）min=g1a=1-ln1a.

因為函數f（x）與函數g（x）有相同的最小值，

所以有a-alna=1-ln1a，即lna-a-1a+1=0，

令h（a）=lna-a-1a+1（a＞0），則h′（a）=1a-2（a+1）2=a2+1a（a+1）2，

所以函數h（a）在（0，+∞）上單調遞增，且h（1）=0，故a=1.

（2） 由（1）可知，f（x）=ex-x，g（x）=x-lnx，且兩個函數的最小值為1.

假設結論成立，則y=b與兩個函數有三個交點.

當b＜1時，函數y=b在f（x）=ex-x，g（x）=x-lnx的下方，不存在交點；

當b=1時，函數y=b與函數f（x）=ex-x，g（x）=x-lnx各交于最小值點，則直線與兩個函數各有一個交點；

當b＞1時，考慮ex-x=b的解的數量以及x-lnx=b解的數量.

設F（x）=ex-x-b，則其導函數為F′（x）=ex-1，

可知函數F（x）在（-∞，0）上單調遞減，在（0，+∞）上是單調遞增，

所以F（x）min=F（0）=1-b＜0，而F（-b）=e-b＞0，F（b）=eb-2b，

設u（b）=eb-2b，其中b＞1，則其導函數為u′（b）=eb-2＞0，

所以u（b）在（1，+∞）上單調遞增，故u（b）＞u（1）=e-2＞0，所以F（b）=eb-2b＞0，故F（x）有兩個不同的零點，即ex-x=b的解的個數是2.

設G（x）=x-lnx-b，其導函數為G′（x）=x-1x，

可知函數G（x）在（0，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增，

所以G（x）min=G（1）=1-b＜0，G（e-b）=e-b＞0，G（eb）=eb-2b＞0，

故G（x）有兩個不同的零點，即x-lnx=b的解的個數是2.

所以如果存在直線y=b與曲線y=f（x），y=g（x）有三個不同的交點，則b＞1.

設h（x）=ex+lnx-2x（x＞0），其導函數為h′（x）=ex+1x-2.

設s（x）=ex-x-1（x＞0），其導函數為s′（x）=ex-1＞0，

所以s（x）在（0，+∞）上單調遞增，所以s（x）＞s（0）=0，所以ex＞x+1，

所以h′（x）=ex+1x-2＞x+1x-1＞0，故h（x）在（0，+∞）上單調遞增，

同時h（1）=e-2＞0，h1e3=e1e3-3-2e3＜e-3-2e3＜0，

故h（x）在（0，+∞）有且僅有1個零點x0，1e3＜x0＜1，

同時當0＜x＜x0時，h（x）＜0，即f（x）＜g（x），

當x＞x0時，h（x）＞0，即f（x）＞g（x）.

因此如果存在直線y=b與曲線y=f（x），y=g（x）有三個不同的交點，故b=f（x0）=g（x0）＞1，

這樣就有ex-x=b有兩個不同的零點，分別是x1，x0（x1＜0＜x0），

x-lnx=b有兩個不同的零點，分別是x0，x4（0＜x0＜1＜x4），

故有ex1-x1=b，ex0-x0=b，x0-lnx0=b，x4-lnx4=b，

所以x4-b=lnx4，即ex4-b=x4，

所以ex4-b-（x4-b）-b=0，

故x4-b是方程ex-x=b的解，同理x0-b也是ex-x=b的解.

又ex1-x1=b可以轉化為ex1=x1+b，即（x1+b）-ln（x1+b）-b=0，

故x1+b是方程x-lnx=b的解，同理x0+b也是方程x-lnx=b的解，

所以{x1，x0}={x0-b，x4-b}，而b＞1，

所以x0=x4-b，

x1=x0-b，即x1+x4=2x0，

所以x1，x0，x4是公差為b的等差數列.

故原關系得證.

5 試題總結延伸是解題教學的關鍵

在進行相應試題的解題教學后，需要對這個試題的知識點以及相關的解題過程進行總結和對類似問題進行有效的延伸.例如在這個試題中，主要考查的就是關于抽象連續函數的最值問題.而對于這類問題的解題方法通常就通過利用函數求導來對函數的單調性進行討論，從而判定函數的單調區間，確定函數的最值.在本題中由于在兩個函數關系中都存在所求的未知數a，所以在進行函數單調性判斷的過程中需要注意的是這個未知數的取值范圍是否會對函數的單調性產生影響.例如在本試題中，當a≤0時，就會使兩個函數的導函數求f′（x）＞0，g′（x）＜0，從而導致原函數在定義域內是單調減函數或者單調增函數的情況，導致函數沒有最小值.這樣的情況就與題意矛盾，所以需要舍棄a≤0的情況.然后再通過對a＞0的情況進行分析，實現對問題的求解.當然在第二個問題的解題過程中也需要對b的取值范圍進行分析，從而來實現對問題的解決.總結完成之后還需要通過對試題進行有效的延伸，讓學生對這類試題能夠有一個更加深入的了解.

6 結語

綜上所述，本文通過一道高考原題來對高中數學解題教學中如何培養學生的思維品質，進而實現科學素養的有效提升進行了分析.在解題教學的過程中，教師需要掌握解題教學的重點內容，讓學生能夠根據試題來對解題思路進行分析，結合所學的知識點找到問題解決的關鍵，從而再根據解題思路實現對問題的有效解答.最后再通過對問題的拓展來實現對學生思維品質的有效培養，從而實現對學生科學素養的提升.

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