深挖教學實踐過程,落實數(shù)學核心素養(yǎng)
——以“銳角三角函數(shù)——正切”教學實踐為例

2023-03-28 09:24:22段曉穎

安徽教育科研 2023年6期

段曉穎

(濉溪縣第一實驗學校安徽淮北 235100)

“師者，傳道授業(yè)解惑也”，教師畫滿直線和曲線，學生抬頭挺胸看黑板，大腦中直線、曲線混一團。教學內(nèi)容統(tǒng)一化，教學方法格式化，始終是初中數(shù)學教師在數(shù)學課堂教學中難以逾越的一道鴻溝。隨著基礎(chǔ)教育課程改革的不斷深入，人們越來越關(guān)注學生數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，教師采取創(chuàng)設(shè)教學情境、設(shè)置問題、交流探討、構(gòu)建數(shù)學模型、應(yīng)用數(shù)學模型解決問題等多種教學形式，從只重視學科知識傳授轉(zhuǎn)向關(guān)注數(shù)學學科核心素養(yǎng)的形成和培養(yǎng)上來，使課堂教學真正成為培養(yǎng)學生數(shù)學核心素養(yǎng)的發(fā)生場。

大量課堂教學實踐證明：只有以課堂為陣地，以知識點為載體，以培養(yǎng)學生數(shù)學核心素養(yǎng)為目標，才能體現(xiàn)出數(shù)學課堂教學有別于其他學科育人的價值。時代在進步，國家不再需要只會讀書的“書呆子”，教師必須在課堂教學中華麗轉(zhuǎn)身，成為學生專業(yè)發(fā)展和終身成長的組織者、引領(lǐng)者，才能使學生成為國家的棟梁之材，達到水到渠成的育人目的。在數(shù)學課堂教學中如何落實數(shù)學核心素養(yǎng)培養(yǎng)呢？經(jīng)過一段時間的理論學習和研究，筆者在數(shù)學課堂教學實踐中采取深挖課堂教學過程，落實數(shù)學核心素養(yǎng)的方式取得了事半功倍的教學效果。下面筆者以滬科版九年級上冊數(shù)學“銳角三角函數(shù)——正切”的一堂公開課為例，談一談筆者的感悟與體會,以饗讀者。

一、情境創(chuàng)設(shè)，培養(yǎng)直觀想象和抽象能力

創(chuàng)設(shè)問題情境是初中數(shù)學課堂教學的關(guān)鍵，也是不斷激勵學生在課堂好好學習的動力和源泉，是學生探求知識和發(fā)展能力的前提，也是學生學習動機和成長的起點。因此，教師要積極合理創(chuàng)設(shè)教學情境，激發(fā)學生的求知欲，讓學生的思維在數(shù)學知識與應(yīng)用之間建立聯(lián)系，于是筆者在課堂教學中以生活中常見的物體——梯子引入本節(jié)課。

問題1：請你描述梯子的傾斜程度(如圖1)，應(yīng)當如何描述？

圖1

學生：(思考、交流、研討)通過觀察分析，可以將梯子抽象化，將梯子視為線段AB，墻與梯子接觸點到地面垂直距離視為線段AC，梯子與地面接觸點到墻的距離視為線段BC,這樣即可視三者之間構(gòu)成一個直角三角形，線段AC、線段BC看作三角形的兩個直角邊，線段AB看作直角三角形的斜邊，這樣就可以將這一問題轉(zhuǎn)化為探究斜邊AB傾斜程度的問題。

問題2：你能比較兩個梯子哪個更陡嗎？有哪些方法？

學習小組成員研討交流，每小組選代表發(fā)言。

教師用幾何畫板動態(tài)演示，學生認真觀察。

圖2

結(jié)論：用圖1中的兩個梯子構(gòu)成的三角形將這一問題轉(zhuǎn)化為比較線段AB和EF的傾斜程度大小，再將墻面與地面垂直抽象化作AC⊥BC以及ED⊥FD，使梯子與墻和地面構(gòu)成△ABC、△EFD，而這就將比較兩個梯子哪個更陡的問題轉(zhuǎn)化為比較∠ABC和∠EFD的大小問題(如圖2)。

追問：如果沒有量角器,還有其他的方法解決這個問題嗎?

教師：每個學習小組的同學可以根據(jù)教師發(fā)給你的不同的直角三角形，選取兩個斜邊的傾斜角相差較大的直角三角形圖片代替兩個梯子之間的傾斜程度，通過觀察，你做出怎樣的判斷？再選取兩個斜邊的傾斜角相差較小的直角三角形圖片代替梯子之間的傾斜程度，通過觀察，你又做出怎樣的判斷？

實踐探究：學生根據(jù)老師提供的直角三角形圖片進行觀察、分析、討論、交流。

學生展示自己所選取的圖片，并說明是如何比較∠ABC和∠EFD的大小。

結(jié)論：兩個直角三角形斜邊的傾斜角越大，斜邊越陡；兩個直角三角形高度與底邊的比越大，斜邊越陡，而兩個傾斜角相差較小的直角三角形圖片僅依靠肉眼很難觀察出來。

設(shè)計意圖：利用靠在墻上梯子的傾斜程度的圖片，創(chuàng)設(shè)情境引入課題，使學生在情境中探究，讓情感走進數(shù)學課堂，讓直觀想象變成理性思維，激發(fā)求知欲望，迸發(fā)出創(chuàng)新的火花。通過組內(nèi)探索交流，教師用幾何畫板動態(tài)演示，學生直觀感受，以此引出數(shù)學問題，從而使學生更加直觀明了地認識數(shù)學問題，學生的直觀想象與抽象能力得到培養(yǎng)。把生活中常見的實物梯子與墻面、地面形成的圖形通過直觀想象，抽象轉(zhuǎn)化為直角三角形，學會利用空間物體的位置關(guān)系變化來分析問題，培養(yǎng)了學生的空間觀念，建立了“形”與“數(shù)”的聯(lián)系，探索出解決梯子傾斜程度如何判斷的問題。

二、問題探索，提升邏輯推理與數(shù)據(jù)分析能力

問題是矛盾，是動力，是思維的開端，是數(shù)學課堂教學的靈魂；探究是邏輯推理和數(shù)據(jù)分析的階梯和載體，是構(gòu)成邏輯推理和數(shù)據(jù)分析的重要環(huán)節(jié)。在課堂教學過程中教師圍繞課堂教學核心問題，從學生已有的認知水平出發(fā)，設(shè)計逐級遞進的問題。初中生的情感豐富，探索欲望特別強烈，希望自己是問題的發(fā)現(xiàn)者、探索者、研究者，而九年級的學生已經(jīng)儲備了一定的數(shù)學基礎(chǔ)知識，這時選擇學生自主學習、同學之間交流研討等方式開展探究活動，是培養(yǎng)學生邏輯推理和數(shù)據(jù)分析能力的重要途徑。

圖3

問題1：如圖3所示，梯子EF與梯子AB哪個傾斜角度更大？你是如何得出這一判斷結(jié)果的?(使用的方法越多越好)

學習小組成員仔細觀察、討論，可以用兩種方法進行判斷。

方法一:因為梯子EF與梯子AB的豎直高度ED與AC一致，但通過觀察發(fā)現(xiàn)梯子AB的水平寬度小于梯子EF，因此得出結(jié)論：梯子AB比梯子EF陡。

方法二:通過將兩個直角三角形的豎直高度疊合的方法，可以更為直觀地觀察到梯子AB更陡。

教師：同學們判斷很準確，即在高度相同時，比較水平寬度。

結(jié)論:若兩個梯子豎直高度相同時，梯子的水平寬度越小，梯子越陡。

問題2:如果兩個梯子梯腳的水平寬度相同呢?(如圖4)

圖4

學習小組成員觀察、研討、交流，跟上一問題類似，也有兩種方法。

方法一:通過觀察以及生活常識，當水平寬度一致時，豎直高度越高則更陡，我們可以很容易地做出判斷，梯子EF比梯子AB陡。

方法二:同樣是將兩個三角形疊合的方法，這次是將梯子的水平寬度重合，可以清晰地觀察到梯子EF比梯子AB更陡。

教師：同學們越來越聰明了，兩種方法都非常正確。

結(jié)論:若兩個梯子水平寬度相同時，梯子的豎直高度越大，梯子就越陡。

問題3：若兩個梯子豎直高度與水平寬度都不相同呢？你又怎么判斷？(如圖5)

圖5

通過學習小組成員對問題的分析和探討，逐步得出了兩點結(jié)論：其一，梯子傾斜程度同時受梯子豎直高度與水平寬度影響；其二，若水平寬度相同，梯子的豎直高度越大越陡；若豎直高度相同，梯子的水平寬度越小越陡。

追問1:梯子的傾斜程度究竟與上面的兩個量有怎樣的關(guān)系呢?你能用學過的數(shù)學知識描述這種關(guān)系嗎?

學生總結(jié)：若梯子水平寬度相同，梯子的豎直高度h越大,則其越陡；若豎直高度相同，水平寬度l越小,則其越陡。

學生充分討論、交流之后猜想:梯子的傾斜程度受h與l之比影響，比值越大,梯子越陡。

追問2:你的猜想是否正確呢？

教師：基于前面的學習，可以借助圖5，驗證你的猜想，并判斷其是否適用于特殊情況。

設(shè)計意圖：教師從學生已有的生活經(jīng)驗出發(fā)創(chuàng)設(shè)問題情境，問題逐級遞進，引發(fā)了師生之間思維火花的相互碰撞，生成了解決問題的方案，培養(yǎng)了學生的邏輯推理和數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng)。

三、經(jīng)驗交流，培養(yǎng)數(shù)學建模核心素養(yǎng)

數(shù)學建模是數(shù)學課堂的一項重要教學任務(wù)，在教學中積極引導學生通過觀察、交流發(fā)現(xiàn)相似三角形的“A型”模型，在自主學習、合作學習、交流研討的氛圍中構(gòu)建新的數(shù)學模型，并運用剛建立的正切模型解決問題，促進學生數(shù)學建模能力和用模能力的提升。

教師：小王由于身高限制，不能測出墻角至梯頂B1C1的準確高度(如圖6)，從而難以刻畫梯子的傾斜程度，這該怎么辦呢？你可以幫幫他嗎?

圖6

各學習小組討論后發(fā)現(xiàn)，可在梯子上取易測點B2，測量點B2到地面的距離B2C2和AC2,算出它們的比，這樣就可以刻畫梯子的傾斜程度了。

問題1：Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么關(guān)系?

問題3：如果改變點B2在梯子上的位置呢?

結(jié)論：如果直角三角形一個銳角確定之后，則其對邊與鄰邊的比值不變，且比值與直角三角形的大小和形狀無關(guān)，只與∠A的大小有關(guān)。

教師：因此∠A的正切是怎樣定義的呢？同學們請打開課本齊聲朗讀∠A的正切定義。

圖7

易得:tan A值越大，梯子越陡。

教師：有關(guān)∠A正切定義的幾點說明：

(1)在初中階段，正切是針對直角三角形中的銳角定義的，不研究直角和鈍角的正切。

(2)tanA的值大于0，它是一個比值，無單位，即銳角∠A的對邊與鄰邊的比。

(3)tanA的數(shù)值，只受銳角∠A大小的影響，與直角三角形各邊的長與短沒有關(guān)系，正切也可以來描述坡度。

設(shè)計意圖：生活中的梯子斜靠在墻邊的問題，通過數(shù)學建模把梯子與地面形成的傾斜程度的問題抽象轉(zhuǎn)換成直角三角形的銳角角度大小的問題，把比較梯子傾斜程度的問題轉(zhuǎn)化成直角三角形豎直高度和水平距離比值的問題，這樣就把前面學習的相似三角形邊與邊之比的知識應(yīng)用到今天的學習中，不但形成了知識網(wǎng)絡(luò)，還建立了直角三角形∠A正切與兩條直角邊之比的數(shù)學模型關(guān)系，更重要的是數(shù)學建模的核心素養(yǎng)得到培養(yǎng)。

四、模型應(yīng)用，演練中考真題

在數(shù)學課堂教學中利用已構(gòu)建的數(shù)學模型解決問題，是增強學生運算能力和提升數(shù)學建模的重要手段。解直角三角形是中考命題的熱點，近幾年安徽中考必考的題型，也是學生必須要掌握的知識點之一。在教學中適當融入問題情境，如添加測量高度、測量距離、測量河的寬度等教學情境，就可以設(shè)計成一道解直角三角形的試題，試題關(guān)注的是學生的模型應(yīng)用能力與創(chuàng)新能力，突出考查學生數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。

多媒體投影：安徽省2020年中考數(shù)學試題(如圖8，此處題目省略)。

圖8

學生觀看大屏幕，認真閱讀題目，先思考，再小組交流研討。

試題分析：此題以測量山的高度為背景，通過解答題的方式考查學生對解直角三角形數(shù)學模型應(yīng)用的能力。此題雖然起點較高，有些學生感到茫然，但考查的主線沒有變化。因此，解此題的思路與課堂學習的正切模型非常類似，仍是利用已建立的數(shù)學模型的知識去解決問題。學生在黑板或草稿紙上，先獨立解答試題，然后班級內(nèi)展示交流。通過學生獨立思考和紙筆練習，規(guī)范學生解直角三角形的格式，鞏固了課堂中數(shù)學模型思想和解題技能，提升了學生的數(shù)學核心素養(yǎng)。

設(shè)計意圖：從學生閱讀試題、分析圖形，師生、生生之間的交流、研討等多維度分析、理解兩個直角三角形圖形與數(shù)量的關(guān)系。在解題的過程中體會到了“銳角三角函數(shù)——正切”數(shù)學模型的“魔力”，在思維碰撞中培養(yǎng)了學生的數(shù)學模型意識，在答題思考中多維度鞏固數(shù)學模型，在解題的過程中感受到數(shù)學學習的快樂和成就感，彰顯了課堂教學培養(yǎng)學生數(shù)學核心素養(yǎng)的重要性。

教師：同學們，人生就是一場持久的拼搏與探索，只要你勇于在生活的浪尖上不斷地思考、不斷地探索、不斷地嘗試，永不后退，你就會有精彩的人生！

設(shè)計意圖：教師這段結(jié)束語注重教書育人，體現(xiàn)出將本節(jié)課數(shù)學知識的傳授與數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)升華為數(shù)學學科教育的終極目標——立德樹人。

五、常反思、善修正

在整個數(shù)學課堂教學過程中，不斷通過學生的獨立思考，同學與教師、同學與同學之間交流、討論、探究，反饋與體驗等多種方式增強學生的邏輯推理意識，提高學生的分析推理能力，加深學生對數(shù)學模型的理解和運用，更重要的是為學生提供了一種數(shù)學學習方法——模型構(gòu)建法，能通過利用直角三角形正切數(shù)學模型去解決同類型數(shù)學實際問題，這也符合數(shù)學核心素養(yǎng)中對邏輯推理與數(shù)學模型的要求。