立足課堂問題鏈，提升數學核心素養

葉雯雯

摘 要：數學核心素養如何落地生根成為數學課程改革的重要命題，數學問題鏈教學無疑是其重要抓手之一.本文以“四心背景下的解三角形問題”這節復習課教學為例，談如何通過問題鏈設置幫助學生解決問題，理解數學內容的本質，促進學生數學學科核心素養的形成和發展.

關鍵詞：問題鏈；核心素養；復習課教學

1?問題的提出

《普通高中數學課程標準（2017年版）》實施建議指出，在教學活動中，應結合教學任務及其蘊含的數學學科核心素養設計合適的情境和問題，引導學生用數學的眼光觀察現象、發現問題，使用恰當的數學語言描述問題，用數學的思想、方法解決問題.在問題解決的過程中，理解數學內容的本質，促進學生數學學科核心素養的形成和發展^［1］.因此教師應該根據教學目標，精心設計一系列問題，將教學內容以問題鏈的形式呈現，引導和推動學生進行思考和研究，從而使學生獲得知識和能力.通過課堂問題鏈設置，讓學生在問題的解決中學會學習，學會思考，真正成為學習的主人；通過課堂問題鏈設置，教師在教學中落實對學生的數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象和數據分析等核心素養的培養，從而提高教學質量.近年來，筆者就如何通過問題鏈設計來提升數學學科核心素養進行了大量的思考和豐富的實踐，本文以“四心背景下的解三角形問題”的教學為例來展示筆者的一些實踐和思考.

2?“四心背景下的解三角形問題”的教學實踐

廈門市2023屆高三畢業班第二次質量檢測卷的第17題第2問是關于四心背景下的解三角形問題，滿分6分，全市均分1.48分，我校均分0.94分，說明不僅我們學校，全市學生對于這塊知識的掌握都是非常薄弱的.因此筆者從這道題出發，上了一節四心背景下的解三角形問題的復習課.整節課教師以問題為導向，通過給出思考路徑讓學生尋找要求的量與已知量的關系，讓學生拾階而上，形成思維導圖，教學生學會“想”；以訂正為抓手，抓住三個到位——點撥到位，練習到位，鞏固到位，通過環環相扣的變式引發學生思考，教學生學會“做”；以素養為目標，通過知識儲備——解三角形相關公式、定理和三角形的四心性質，進行知識間的轉化，提升了學生直觀想象、邏輯推理、數學運算素養，教學生學會“用”；以小組合作學習的方式，增加課堂中的生生互動，逐步促進學生的深度學習和集體知識建構，教學生學會“說”.

2.1?復習舊知，剖析思路

例題：△ABC的內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知2a-c=2bcosC.

（1） 求B的大小.

（2） A的角平分線與C的角平分線相交于點D，AD=3，CD=5，求AC和BD.

問題1：同學們在做第二問的時候遇到了什么困難？

追問1：請同學們思考要求的AC需要放在哪個三角形，借助什么定理來解決.

追問2：現在還缺少一個∠ADC的值，如何求呢？∠ADC與已知的∠B有何關系？

學生活動：學生根據題目所給信息畫出圖形，并在教師的層層追問下根據圖形找到本題的難點及突破口.

設計意圖：從學生做過的考試題目入手，引入本節課的學習.學生解題的難點在于在多個三角形背景下，不知如何解三角形，感覺眼花繚亂無從下手.因此教師引導學生將題目的已知條件圖形化，將抽象變形象，更直觀地看出三角形中邊角之間的關系，體現了數形結合思想，提升了學生的直觀想象素養.接著引導學生思考：要求的量可以放在哪個三角形中解決，從而鎖定目標；再思考要利用我們學過的定理、公式、性質來求解還缺少什么量，如何求這個量，通過層層追問啟發學生思考，從而突破本節課的難點.這里體現了一種轉化與化歸的思想，提升了學生的邏輯推理素養.這個教學環節是結構化教學中的“教結構”的過程，即教會學生要解決此類問題必須先作圖，再根據老師提供的問題鏈結合圖形特征進行思考，這里體現了文字語言、圖形語言與符號語言轉化的能力，為后續的“用結構”做鋪墊.

問題2：請同學們類比求解AC的思考方式思考：要求的BD需要放在哪個三角形？借助什么定理來解決？

追問1：現在還缺少一個∠BAD的值，如何求呢？∠BAD與∠DAC有何關系？

追問2：如何在△DAC中求∠DAC？

學生活動：請同學們類比前面的思考路徑繼續研究.請同學們先獨立思考后，再小組討論，最后請同學們匯報研究成果.

設計意圖：求BD的方法有很多，這節課主要介紹兩種解決方法，一種是借助角平分線和正弦定理；一種是利用角平分線的交點就是三角形的內心，它還具有到各邊的距離相等這一性質，并結合正弦定理、面積公式來解決.問題2及其追問的設置在于引導學生利用方法一解決問題，這里采用了結構化教學中的“用結構”，讓學生學會學以致用.利用問題鏈——要求的量可以放在哪個三角形解決？借助什么定理、公式解決？缺少的量如何通過轉化與化歸思想解決？也給學生提供小組合作學習的支架，讓學生通過小組討論來增加生生互動，進一步鞏固所學的知識，讓學生通過討論后匯報來增加師生互動，給予學生更為充分的參與課堂的機會，讓學生真正成為學習的主人.

問題3：同學們還有其他方法求BD嗎？

追問1：角平分線的交點就是三角形的內心，內心還有什么其他性質？

追問2：能否借助內心到各邊的距離相等來求解？如何求解？

追問3：要求的BD需要放在哪個三角形？借助什么定理來解決？

追問4：現在還缺少點D到AB的距離，如何轉化呢？

追問5：在△DAC中如何求點D到AC的距離？

學生活動：學生在老師的層層追問下，努力思考解決問題的方法.接著先自己嘗試解決，再小組討論，相互分享研究成果，最后討論后匯報.

設計意圖：問題3主要是利用方法二解決問題.本節課的學習是環環相扣的，這里的學習環節不僅是再次“用結構”的過程，也為后續變式訓練中垂心的學習起鋪墊作用.觀察圖形特點來求解三角形，體現了數形結合思想，提升了學生的直觀想象素養；利用等面積法求點D到AC的距離，體現了函數與方程的思想，提升了學生的數學運算素養；利用問題鏈引導學生思考，體現了轉化與化歸的思想，提升了學生的邏輯推理素養；利用一題多解開闊學生的思路，發散學生的思維，也有助于提升核心素養.

2.2?類比遷移，固化思維

變式訓練：△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，a=6，b+12cosB=2c.

（1） 求A的大?。?/p>

（2） M為△ABC內一點，AM的延長線交BC于點D，? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，求△ABC的面積.

請在下列三個條件中選擇一個作為已知條件補充在橫線上，使△ABC存在，并解決問題.

追問3：∠AMB與∠C有何關系？

學生活動：讓學生先獨立思考，再小組合作學習討論各自的思路，最后討論后匯報.

設計意圖：這又是再次“用結構”的過程，繼續通過層層的追問引發學生思考，提高學生分析問題、解決問題的能力，培養學生的邏輯推理素養，繼續鞏固學生數形結合的能力，培養學生直觀想象的素養.

2.3?學以致用，發散思維

接著我們將關注問題二中外心問題.

問題5：外心是什么？具有什么性質？AM在這道題里的幾何意義是什么？

追問2：因此，這樣的三角形存在嗎？

追問3：如果將條件AM=4去掉，如何求△BMC的面積？

問題6：若M為△ABC的重心，AD=4，問△ABC的面積是多少？

追問1：重心是什么？

追問2：如何借助中線這一條件來求三角形的面積？你有幾種做法？

追問3：我們列出了兩個未知數，兩個方程，怎樣快速求出ab的值？

追問4：△BDM的面積是多少？

最后我們關注問題二中內心問題的解決上.

問題7：通過前面的學習我們知道，三角形的內心就是角平分線的交點，因此通過所給題目的圖形特點你想借助什么定理或者公式來解決？

追問1：當我們看到中線的時候一般會想到利用向量的中線定理，當我們看到角平分線的時候我們還可以用等面積法，借助等積法同學們能否思考下這道題的第三小問如何解決？

追問2：類比前面的學習，當我們列出了兩個未知數兩個方程的時候，怎樣快速求出ab的值？

學生活動：先讓學生獨立思考，再小組合作學習討論各自的思路，最后討論后匯報.

設計意圖：學以致用，發散思維這一環節主要研究外心、重心、內心等問題，這里繼續鞏固了學生數形結合的能力，培養學生直觀想象的素養.對于垂心和內心的這兩個問題，對于特殊圖形我們有時候還可以采用中線定理、等積法來解決，通過問題鏈的引領和方法的介紹完善學生的知識體系，培養了學生函數與方程、數形結合、轉化與化歸的數學思想方法，培養了學生數學運算、直觀想象和邏輯推理核心素養.

2.4?小結反思，提高認識

問題8：通過這節課的學習，你有何收獲？還存在哪些疑惑？

學生活動：請學生單獨發表各自的想法.

設計意圖：通過談收獲，進一步鞏固今天所學的知識和方法，通過談疑惑，讓老師對學生掌握的情況做到心中有數，同時可以將學生的疑惑布置成當天的作業，通過問老師、問同學、查資料等多種方式解決，激發學生的求知欲.

3?教學思考

本節課屬于復習課，教師在基于“問題鏈”的教學中，以問題為紐帶，以知識形成、發展和培養學生思維能力為主線，以師生、生生互動為基本形式，從而激發學生的思維活動，發展自身的數學核心素養，這也為今后探究復習課提供模式化的思路與方法.

3.1?以問題鏈教學為路徑，引領課堂教學

問題是數學的心臟，章建躍博士說，以問題引導學習應當成為數學教學的一條基本原則，教學中以數學知識的發生發展過程和理解數學知識的心理過程為基本線索，設計前后一致、邏輯連貫的問題鏈，讓學生進入思維的軌道，在問題鏈的引導下，積極主動分析、思考、探究、解決問題，最終深刻地掌握數學知識^［3］.本節課中，對于在多個三角形背景下的解三角形問題，學生解題的困難在于三角形太多，無從下手，因此教師給出思考路徑：要求的量放在哪里三角形研究？利用什么定理、公式解決？還缺什么量？如何求？層層追問，引導學生根據這一思考路徑在茫茫三角形中鎖定目標，找到已知條件與結論之間的關系，以及解本道題的關鍵點，從而突破學生不懂在多個三角形背景下怎么解三角形問題這一難點.因此，教師在教學中遇到學生的難點，可以通過設計層層遞進的問題鏈幫助學生突破思維的難點，對于解題類的教學可以讓學生思考：題目里有什么？能得到什么？這題要讓我們求什么？需要什么？建立知識與知識的聯系，在問題的解決中不僅能提升學生的知識建構能力，培養學生發現問題—提出問題—解決問題的能力，還能助力學生提升思維能力.

3.2?以結構化教學為手段，注重知識遷移能力的提升

葉圣陶先生說過：“教不是為了教.”新課標也要求教師既要重視教，更要重視學，促進學生學會學習.因此，課堂教學中，教師最主要的任務是教會學生學會學習，注重學生知識遷移能力的培養和提升^［4］.筆者認為結構化教學是落實這一任務的有效手段.教師可以通過結構化教學讓學生形成結構化的思維，學生在應用結構化思維解題和學習中對知識產生深層次的理解，培養應用遷移的能力，提高了解題質量和學習能力.在“四心背景下的解三角形問題”教學中，教師設置問題1讓學生明確研究此類問題的思考路徑，接著學以致用遷移到問題2，3，4的解決上.結構化的教學模式，不僅可以減輕學生數學課程學習的壓力，還能提高學生知識遷移的能力、數學學習信心及數學課堂學習效率.

3.3?以思維導圖為抓手，構建知識結構

在傳統的數學教學中，教師一般側重于各個知識點的講解，學生很難理清知識點間的聯系，導致學生學習效率低下.因此在教學中，教師可以恰當運用思維導圖，讓學生借助圖中簡潔明確的關鍵詞抓住本節課的重點，提高學習效率；運用思維導圖對課程資源進行整合，幫助學生建構知識結構，促進學生的邏輯思維能力和創造力.本節課教師通過問題鏈設計和追問串聯課堂，在分析問題和解決問題的過程中將本節課的研究和發現從四個角度——知識儲備、思考路徑、數學思想方法、核心素養以思維導圖的形式呈現.這節課的學習學生學了什么一目了然，并將所學知識、方法與素養之間的關系建立起了聯系，為后續的學習起鋪墊作用.

3.4?以小組合作學習為方法，增加課堂中的生生互動

小組合作是教師上課常采用的教學模式之一，但經常有這樣一個困惑，為什么拋出問題讓學生討論，而學生不討論或無從討論？筆者覺得主要是由于有些較難的問題教師沒給學生提供問題支架，學生無從下手，因此難度較大的問題教師可以將大問題細化為一個個相互關聯的、層層遞進的小問題，這時就可以放手讓學生自主探究、小組合作，幫助學生突破難點.同時數學知識、方法很多都是類似的，因此在解決類似問題的時候可以引導學生利用類比即“用結構”的方法來解決，這時可以再次讓學生自主探究、小組合作，在此環節對于學習能力強的學生教師可以不給學生建立問題支架，讓學生模仿前面所解決的問題自己建立支架.學生在學會解決一個問題的基礎上，學會解決一類問題，懂得學以致用.因此，問題鏈設計和結構化教學都為小組合作提供了基礎.教師在課堂上通過問題串給學生提供研究路徑，讓學生采用小組合作的形式，逐步促進學生的深度學習和集體知識建構，讓學生體會“跳一跳，摘得到”的快樂.

3.5?以核心素養為目標，進一步提升課堂生成的高度

研究表明，近十幾年來，我國進行的教育課程改革經歷了三個階段的重要轉變，從最初的“改變效率”，實現課堂教學效率由低到高的轉變，到隨后的“改變關系”，實現了教學關系從講授到學習、從教師到學生的轉變，再到今天的“改變意義”，實現從關注知識到關注能力的轉變^［5］.核心素養已成為本輪課程改革的重點，作為教師的我們需要積極深入教育改革，將核心素養與數學學科知識有機地聯系起來，通過不斷改革和創新教學方式，讓數學核心素養在課堂中有效“落地”，并在學生的學習過程中生根發芽.本節課教師在教學過程中通過學生作圖，培養學生數形結合的思想，提升了學生直觀想象的素養；通過問題鏈和追問的方式，幫助學生加深對問題的理解，有利于提高課堂的深層性，讓課堂更具活力，提升了學生的邏輯推理素養.學生有了思路后，讓學生獨立運算，提升了學生的數學運算核心素養.

參考文獻：

［1］ 唐恒鈞，張維忠.數學問題鏈教學：緣起、進展與展望［J］.中學數學教學參考，2021（16）：71-73.

［2］ 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版）［M］.北京：人民教育出版社， 2018.

［3］ 章建躍.構建邏輯連貫的學習過程使學生學會思考［J］.數學通報，2013，52（6）：5-8+66.

［4］ 余樹寶，朱超奇.注重以生為本 加強知識遷移—對2022年高考數學全國乙卷函數題的探究［J］.中學數學教學參考，2023（7）：73-76.

［5］ 楊志強.核心素養如何在生物學課堂中落地生根—— 參加“四 新”會議有感［J］.中學生物教學，2018（17）：70-71.