由兩道高考試題談“先猜后證”的價值

摘? 要：“先猜后證”是一種通過特殊化獲得一般性結論的推理方法，這是探明結論的有效途徑之一. 在解析幾何、導數難題的解答中，通過猜想可以明確目標，從而使運算策略與方向的選擇更具針對性. 以2022年高考數學全國乙卷中的一道高考試題為例闡釋上述思路方法的應用，分析其對解題與教學的意義和價值.

關鍵詞：先猜后證；導數；解析幾何

很多學生在2022年高考考后復盤中都提出解析幾何和導數的運算較困難. 這些困難具體可以分為兩類：一類是學生在解決解析幾何或導數問題中的某一步時思路受阻，從而迷失了后續的運算方向和解題方向；另一類則是學生雖然可以繼續計算，但是因為運算量過大且運算目標不明確造成未能完整作答. 學生往往會將這兩種情況簡單地歸結為自己代數運算能力不強. 然而事實上，這種運算能力不強并不是我們常說的計算代數式的能力不過關，而是數學運算素養中的“選擇運算方法、設計運算程序”的能力相對薄弱，即解題策略和方法在很大程度上決定了計算量的大小. 如果能夠先探明結論，找到目標，那么運算策略與方向的選擇也更具針對性，進而則可以降低運算量，提高運算速度.

對普遍情況適用的對其中的特殊情況也必然適用，這是邏輯學的基礎知識. 因此，通過特殊化獲得一般性結論是探明結論的有效途徑之一，即我們常說的“先猜后證”. 從滿足條件的特殊情形入手，如果能找到這個可能的數學對象，以目標結論為運算方向，再通過邏輯推理給出一般性結論的證明；否則，借助反例證偽即可. 筆者將以2022年高考數學全國乙卷中的解析幾何和導數試題為例，闡述“先猜后證”的策略在問題解決中的價值.

一、“先猜后證”在求解解析幾何問題中的價值

導數問題中，“先猜后證”的方法多數被應用于解決含參不等式的恒成立問題中，通過取函數定義域中某個特殊值得到一個必要條件，從而縮小參數范圍，再論證其充分性，簡化問題的求解過程.

事實上，“先猜后證”的方法在解決導數問題時不局限于此. 當沒有較好的切入點探求參數取值范圍時，可以挖掘題干中的顯性條件或隱性條件，在特殊情況下對結論進行探究、猜想，然后進行一般情況下的論證. 例如，該題中“先猜后證”方法的應用，就是結合函數解析式的特征分析得到函數經過原點的性質，在此基礎上，結合條件分析函數圖象的大致趨勢，從而得到參數取值的必要條件，不但確定了分類討論的標準，而且對每一類情況下函數零點存在性的結論已經有了答案，使運算和論證的方向清晰、明確，從而突破了所謂的運算難點.

三、“先猜后證”策略的價值及其對教學的指導意義

1. 借助“先猜后證”，突破思維和運算難點

從對2022年高考數學全國乙卷兩道試題的分析來看，如果直接推證，對學生代數結構識別、構造和變形的能力要求較高，需要學生具有較強的邏輯推理素養，如果沒有弄清問題的本質，就會導致學生常說的“算不下去”的情況. 而兩道高考試題中“先猜后證”方法的應用都是利用了題干中的顯性條件或隱性條件先猜出了問題的結論或者明確了探究的目標，將求解問題轉化為證明問題，使計算量和思維量上大幅度降低.“先猜后證”所蘊含的這種“歸納—猜想—證明”的思考方式，使學生可以從一個較寬的入口上手，而不是對導數和解析幾何問題望而卻步，突破了直接推證過程中的思維難點.

2. 培養學生的探索意識與能力，使學生經歷數學研究的完整過程

提出對數學命題結論的猜想，在此基礎上再進行推理論證，本身就是數學研究中重要的思維過程. 而通過特殊情況歸納推理或者從目標出發逆向推理得到一般結論，是提出合理猜想的有效途徑，也是合情推理的基本思想. 在“先猜后證”的探究過程中，學生大膽猜測、小心論證，逐步掌握基本研究方法，培養學生自主探索的意識和能力，使學生積累數學研究的基本活動經驗. 正如波利亞所說，在數學領域中，猜想是合理的，是值得尊敬的.

3. 日常教學中有意識進行“先猜后證”的思維訓練

雖然由猜想到證明的合情推理方法對數學問題的研究有重要意義，但是任何一個有價值的猜想都不是無方向的亂猜，需要學生在日常數學學習中經歷過上述“由特殊到一般”的研究過程，逐步感悟，加深對該方法的認識. 因此，教師可以在教學活動中設計相應的探究活動，不僅限于導數和解析幾何，在數學知識的不同模塊都可以讓學生通過探究活動積累經驗，從而有意識地進行“先猜后證”的思維訓練.

參考文獻：

［1］尹嶸. 淺析“先猜后證”中合理猜測的入手點：以北京高考題為例［J］. 中小學數學（高中版），2020（9）：55-58.

［2］彭耿鈴. 必要探路? 先猜后證［J］. 數學通訊，2019（23）：10-11，49.

作者簡介：馬超周（1993— ），女，中學一級教師，主要從事高中數學教學實踐與教育教學理論研究.