滿玉　紀(jì)昌武

摘? 要：以2022年高考天津卷第19題的解法研究為例，探究在解析幾何解答題教學(xué)中如何立足問(wèn)題本原探索解題思路，培育學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：解析幾何；問(wèn)題本原；數(shù)學(xué)運(yùn)算；邏輯推理

一、試題呈現(xiàn)

【評(píng)析】此解法與解法2本質(zhì)上相同，更注重幾何圖形帶來(lái)的提示作用. 針對(duì)條件[OM=ON，] 能夠認(rèn)識(shí)到除了用圓的性質(zhì)外，還可以利用[MN]的中點(diǎn)與點(diǎn)[O]的連線與[MN]垂直的性質(zhì)，應(yīng)用“兩條直線垂直，則斜率乘積為-1”來(lái)解決問(wèn)題，從而使計(jì)算得到簡(jiǎn)化. 充分體現(xiàn)了解析幾何的基本思想方法：將幾何問(wèn)題代數(shù)化，以及數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想；對(duì)于條件[S△OMN=3，] 則選取了以線段[ON]為三角形的底，則高就是點(diǎn)[M]橫坐標(biāo)的絕對(duì)值，體現(xiàn)了思維的簡(jiǎn)潔性和靈活性. 對(duì)比解法2和解法3，兩種解法從數(shù)學(xué)思想方法上是一致的，但解法3思維更加發(fā)散，運(yùn)算更為簡(jiǎn)潔. 由此可以看出，幫助學(xué)生處理好知識(shí)與能力、過(guò)程與結(jié)論、方法與思維的關(guān)系，加強(qiáng)理性思維的培養(yǎng)，鼓勵(lì)學(xué)生的創(chuàng)新性思維具有十分重要的意義.

四、教學(xué)思考

2022年高考天津卷解析幾何解答題，重視基礎(chǔ)知識(shí)、通性通法的應(yīng)用，以知識(shí)立意為基礎(chǔ)，以能力立意為方向，以素養(yǎng)立意為目標(biāo)，注重對(duì)學(xué)生綜合能力、數(shù)學(xué)思維能力，以及數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的全面考查. 對(duì)高考題的細(xì)研是教學(xué)過(guò)程中的重要一環(huán)，也是培養(yǎng)和落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有利時(shí)機(jī). 基于此題的解法研究，對(duì)解析幾何的教學(xué)有以下幾點(diǎn)思考.

1. 探尋思想方法產(chǎn)生的本原，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象、直觀想象素養(yǎng)

要想整體上把握試題條件和要解決的問(wèn)題，就要把握所在單元（主題）的內(nèi)容結(jié)構(gòu)和核心思想，這樣才能凸顯知識(shí)的脈絡(luò)，抓住數(shù)學(xué)本質(zhì)，弄清數(shù)學(xué)研究問(wèn)題的思想方法. 從審題中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題十分重要. 學(xué)生要能夠根據(jù)已知條件，使用數(shù)學(xué)語(yǔ)言對(duì)問(wèn)題進(jìn)行適當(dāng)?shù)拿枋觯匾獣r(shí)可以將條件抽象成圖表、圖形等形式輔助思考.

從圖1 ～ 4可以看出，選擇點(diǎn)[M]的坐標(biāo)為思考問(wèn)題的出發(fā)點(diǎn)和根本點(diǎn)，是順利展開(kāi)解題思路的關(guān)鍵，學(xué)生只有深入分析才能發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，繼而引發(fā)思考、提出問(wèn)題、延伸思維. 如何表示上述條件？能得到什么結(jié)論？對(duì)解決問(wèn)題有什么作用？解析幾何的核心思想方法是什么？在解析幾何中出現(xiàn)相切、長(zhǎng)度相等的條件，一般要從哪幾個(gè)角度思考？原因是什么？學(xué)生只有對(duì)這些問(wèn)題有了清晰和深刻的認(rèn)識(shí)后，“坐標(biāo)”的選擇才是自然的，水到渠成的. 合理選擇參數(shù)，將位置關(guān)系的幾何形式表達(dá)為代數(shù)形式，將之用坐標(biāo)表示，完成從形到數(shù)的轉(zhuǎn)化，這正是解析幾何的核心思想.

對(duì)于解析幾何問(wèn)題的求解，參數(shù)的選擇是學(xué)生的難點(diǎn)，往往會(huì)因選擇不合理造成解題障礙. 究其原因，是因?yàn)樗季S凌亂，沒(méi)有真正厘清條件，弄清題目的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程. 此題中確定的量和關(guān)系有直線[l]與橢圓相切的位置關(guān)系，橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)和短軸長(zhǎng)的倍數(shù)關(guān)系，線段[OM]和[ON]長(zhǎng)度相等關(guān)系，[△OMN]的面積為定值[3;] 不確定的量有切點(diǎn)[M]的坐標(biāo)，切線與[y]軸交點(diǎn)[N]的坐標(biāo)，橢圓的長(zhǎng)、短軸的長(zhǎng)度等. 綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)自然語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言，準(zhǔn)確、清晰、簡(jiǎn)潔地表達(dá)這些量和關(guān)系，是溝通形與數(shù)的紐帶，是架起條件與結(jié)論的橋梁. 圖1 ～ 圖7能促使學(xué)生在頭腦中形成思維導(dǎo)圖，對(duì)此題的理解構(gòu)成一個(gè)彼此關(guān)聯(lián)的系統(tǒng)，從而探尋出思想方法產(chǎn)生的本原，優(yōu)化解題路徑，提升數(shù)學(xué)抽象、直觀想象等素養(yǎng).

2. 引導(dǎo)學(xué)生“提出問(wèn)題—表達(dá)論證”，滲透邏輯推理素養(yǎng)

邏輯推理是得到數(shù)學(xué)結(jié)論、構(gòu)建數(shù)學(xué)體系的重要方式，是數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性的基本保證，是人們?cè)跀?shù)學(xué)交流活動(dòng)中基本的思維品質(zhì). 對(duì)于邏輯推理素養(yǎng)的培養(yǎng)，關(guān)鍵在于引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題，然后利用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行表述和論證，形成有論據(jù)、有條理、合乎邏輯的思維品質(zhì). 這樣，學(xué)生才能抓住問(wèn)題的根本，才能在眾多的解題路徑中，判斷每條路徑的可行性，分析出通性通法，形成富有邏輯的解題方法. 例如，在解法1中，利用切點(diǎn)坐標(biāo)[Mx0，y0，] 直接設(shè)出切線[l]的方程為[x0xa2+y0yb2=1]求解. 而數(shù)學(xué)是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)模谶@里先要證明這一結(jié)論是成立的才能繼續(xù)應(yīng)用，驗(yàn)證過(guò)程彰顯了思維嚴(yán)密性的特點(diǎn)；在解法2中，合理判斷預(yù)知所設(shè)切線方程與橢圓方程聯(lián)立后，由于[Δ=0，] 切點(diǎn)[M]的坐標(biāo)不會(huì)過(guò)于復(fù)雜，求法具有一般性和可行性；在解法3中，線段MN中點(diǎn)[P]坐標(biāo)的利用，把距離問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩直線垂直的特殊位置關(guān)系，以形助數(shù)、簡(jiǎn)化運(yùn)算、優(yōu)化思維.

因此，在課堂教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生積極參與，循序漸進(jìn)地進(jìn)行相應(yīng)的數(shù)學(xué)思考，以及數(shù)學(xué)方法的運(yùn)用，這樣才能讓數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)有本可依. 在解決問(wèn)題時(shí)，才能?chē)@核心問(wèn)題提出相應(yīng)的解決思路，繼而在解題過(guò)程中不斷地深化數(shù)學(xué)思想，落實(shí)數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng).

3. 通過(guò)運(yùn)算促進(jìn)思維發(fā)展，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)

圓錐曲線綜合問(wèn)題是考查學(xué)生運(yùn)算能力的有效載體，充分考查了學(xué)生靈活應(yīng)用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題的能力.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》在解讀“運(yùn)算能力”時(shí)，強(qiáng)調(diào)“應(yīng)當(dāng)重視學(xué)生是否理解了運(yùn)算的道理，是否能準(zhǔn)確地得出運(yùn)算的結(jié)果，而不是單純地看運(yùn)算的速度”，可見(jiàn)算理才是運(yùn)算的核心.

在此題的解法中，側(cè)重考查學(xué)生思維的敏捷性和運(yùn)算的準(zhǔn)確性. 解法2中根據(jù)條件[OM=ON，] 從本質(zhì)出發(fā)，理解為切點(diǎn)[M]在以[O]為圓心，以[m]為半徑的圓上，即滿足方程[x2+y2=m2，] 替代兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用，避免了復(fù)雜根式兩邊平方的化簡(jiǎn)，為計(jì)算帶來(lái)了便捷. 這個(gè)過(guò)程不僅體現(xiàn)了對(duì)圓的方程、圓的性質(zhì)的熟練掌握，也蘊(yùn)含了對(duì)數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化等思想方法的深刻理解.

教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)算理進(jìn)行深入研究，幫助和指導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用已有的知識(shí)，感悟其中的算理. 學(xué)生只有對(duì)算理有了深刻的理解，才能通過(guò)運(yùn)算解決問(wèn)題，促進(jìn)數(shù)學(xué)思維發(fā)展，提高數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

4. 挖掘試題育人價(jià)值，落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

在此題的解法研究中，不僅能感受到試題的知識(shí)、能力、素養(yǎng)三重立意導(dǎo)向，還能不斷領(lǐng)悟試題的育人價(jià)值. 從解題角度而言，解法2不如解法3簡(jiǎn)潔，但在學(xué)生探索解題的過(guò)程中，解法2的解題方法和解題思維是非常值得肯定的，具有通性通法的特征. 在教學(xué)中遇到類(lèi)似解法探究活動(dòng)，如果學(xué)生表達(dá)出解法2，教師不要急于拋出解法3，要先肯定學(xué)生在對(duì)問(wèn)題本質(zhì)的探究中所把握的核心思想方法，在此基礎(chǔ)上鼓勵(lì)他們繼續(xù)發(fā)散思維，立足本原，大膽探索實(shí)踐，相信他們還會(huì)有更多思維的延伸，這樣不斷積累解題經(jīng)驗(yàn)和學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，也是對(duì)學(xué)生理性思維、科學(xué)精神的培養(yǎng).

即便學(xué)生的解題思路不易操作，在探討過(guò)程中也要引導(dǎo)學(xué)生悟出這一想法值得肯定的一面和解法受阻的原因，辯證地思考問(wèn)題，全面地看待問(wèn)題，而不是簡(jiǎn)單地否定，甚至可以讓學(xué)生親自計(jì)算一下，讓他們自己發(fā)現(xiàn)計(jì)算難于堅(jiān)持的原因，這對(duì)磨煉學(xué)生的毅力、提升學(xué)生的自信無(wú)疑有著不可估量的作用，這是任何語(yǔ)言都難以企及的. 高中生要在體驗(yàn)挫折和失敗的過(guò)程中形成百折不撓的良好心理素質(zhì)，以及敢于創(chuàng)新的意志品質(zhì). 這既是高考的要求也是今后人生發(fā)展的需要，從而真正落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目標(biāo)和立德樹(shù)人的根本任務(wù).

總之，2022年高考天津卷解析幾何解答題穩(wěn)中求新，既注重通性通法的考查，又蘊(yùn)含豐富的思想方法，具有發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)、育人導(dǎo)向功能. 為我們今后的數(shù)學(xué)教學(xué)和數(shù)學(xué)研究帶來(lái)了積極的啟發(fā)和思考.

參考文獻(xiàn)：

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［2］高忠冉. 突破運(yùn)算瓶頸，落實(shí)核心素養(yǎng)：對(duì)一道解析幾何模考題解法探究的思考［J］. 中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2018（12）：6-9.

作者簡(jiǎn)介：滿玉（1972— ），女，中學(xué)高級(jí)教師，主要從事數(shù)學(xué)教學(xué)研究；

紀(jì)昌武（1969— ），男，中學(xué)正高級(jí)教師，天津市特級(jí)教師，主要從事高中數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究.