數(shù)學建模活動的教學實踐與思考

劉飛飛

摘? 要：以“‘誘人的優(yōu)惠券”為例，從學生的生活世界出發(fā)，以數(shù)學建模為載體，結合信息技術，培養(yǎng)學生從不同角度發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力，全面提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng).

關鍵詞：生活實際；數(shù)學建模；信息技術

一、研究背景

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》指出，數(shù)學教育承載著落實立德樹人根本任務、發(fā)展素質教育的功能；要提升學生的數(shù)學素養(yǎng)，引導學生會用數(shù)學眼光觀察世界，會用數(shù)學思維思考世界，會用數(shù)學語言表達世界；突出數(shù)學主線，凸顯數(shù)學的內在邏輯和思想方法；精選課程內容，處理好數(shù)學學科核心素養(yǎng)與知識技能之間的關系，強調數(shù)學與生活及其他學科的聯(lián)系，提升學生應用數(shù)學解決實際問題的能力.

數(shù)學核心素養(yǎng)的表現(xiàn)是綜合性的，數(shù)學的視野、態(tài)度、思維、價值判斷與問題的解決交織在一起，這種綜合的素養(yǎng)要求數(shù)學課程更具開放性，即不僅要在數(shù)學的圈子里看數(shù)學，更要通過數(shù)學去看世界. 這就需要教師具有跨學科思維素養(yǎng)，重視不同學科知識的交叉、融合，能夠從學生的生活世界出發(fā)，設計相應的跨學科課程，加強知識之間的聯(lián)系，培養(yǎng)學生從不同角度分析問題和解決問題的能力，實現(xiàn)由“知識傳授”向“學科育人”教育目標的轉變.

數(shù)學之所以具有廣泛的應用性，是因為它可以為其他學科知識的學習，以及生產(chǎn)實踐和日常生活提供多樣化的數(shù)學模型；數(shù)學建模活動問題層出不窮，活動方法豐富多彩，可以為學生提供多樣化的、開放的探索活動空間，提升學生的跨學科意識，更好地培養(yǎng)學生發(fā)散性思維，引導學生從不同角度發(fā)現(xiàn)問題，提升學生綜合運用多學科知識解決問題的能力.

二、研究內容

本文研究的內容是滬教版《普通高中教科書·數(shù)學》必修第四冊第1部分“數(shù)學建模活動案例”中的“‘誘人的優(yōu)惠券”. 這個主題與學生的生活密切相關，大家都曾因優(yōu)惠券或多或少買過一些用處不大的東西，為此浪費了許多的時間和金錢，這些經(jīng)歷能夠極大地激發(fā)學生的探究興趣. 本案例主要的研究目的是通過完整的數(shù)學建模活動，加深學生對相關數(shù)學知識和技能的理解，并增強學生利用信息技術與數(shù)學知識的融合解決實際問題的能力.

三、課前準備

提前兩周和學生確定主題，學生結合經(jīng)驗交流、思考，提出其認為合理的問題、設想和建議，并以小組合作的方式，通過搜集信息、實地調查嘗試建模，同時結合信息技術，綜合應用數(shù)學公式、圖象、圖表等表達形式，求解模型并檢驗結果.

四、研究過程

1. 實際情境

近年來，“雙十一”逐漸演變成一年一度的購物狂歡節(jié). 面對商家復雜的優(yōu)惠規(guī)則，消費者都嘗試用足優(yōu)惠. 最近，某商家推出三種優(yōu)惠券，分別是滿199元減20元、滿299元減50元、滿499元減110元. 這些優(yōu)惠券不可以疊加使用，但是它們可以與滿400元減50元的購物津貼同時使用. 此外，這兩類優(yōu)惠方式有使用順序，必須先使用商家的優(yōu)惠券，再使用購物津貼.

2. 提出問題

組1：我們組傾向于理性消費，一次性消費一般不會達到400元，所以我們只考慮了滿199元減20元和滿299元減50元兩種優(yōu)惠方式.

組2：我們組考慮使用三種優(yōu)惠券，探究是否購物金額越大享受的優(yōu)惠越大.

組3：我們組考慮使用三種優(yōu)惠券，再加上購物津貼，探究是否購物金額越大享受的優(yōu)惠越大.

組4：我們組最關心的是如何用最少的錢買最多的東西.

組5：我們組從商家的角度考慮問題，探究如何設計優(yōu)惠券才能使利潤最大化.

3. 建立模型

組1：對于滿199元減20元和滿299元減50元的優(yōu)惠券，我們首先考慮的是購買商品的總金額是否滿足優(yōu)惠券的額度，然后比較其對應的優(yōu)惠率，也就是將購物金額看作自變量[x，] 將優(yōu)惠率看作函數(shù)值[y，] 則優(yōu)惠率等于優(yōu)惠的金額除以購物金額. 由此可以建立函數(shù)模型[y=0 0

組2：基于事先的考慮，我們組分別計算了在不同購物金額下對應使用三種優(yōu)惠券的優(yōu)惠率，具體數(shù)據(jù)如表1所示.

組3：我們組考慮了三種優(yōu)惠券，再加上購物津貼. 相比于組2，考慮得更加周全. 因為當購物金額滿400元時可以使用減50元的購物津貼，但是要先使用優(yōu)惠券之后才能用購物津貼，所以滿450元就可以同時使用滿299元減50元的購物券和滿400元減50元的購物津貼. 同理，滿510元，可以使用滿499元減110元的優(yōu)惠券和滿400元減50元的購物津貼. 由此可以建立分段函數(shù)模型

組4：我們最關心的是如何用最少的錢買最多的東西. 首先，當然要貨比三家選擇售價最低的商家；其次，我們發(fā)現(xiàn)有的商品還有打折的優(yōu)惠，所以我們考慮的問題是“先打折再滿減”和“先滿減再打折”兩種促銷方式相比較，哪種方式更省錢. 為了簡化模型，我們以買的所有商品都打五折為例進行建模.

（1）先打折再滿減.

設原購物金額為[x]元，實際購物金額為[t]元，折扣率為[y，] 則折扣率等于實際購物金額除以原購物金額，即[y=tx.]

組5：我們實地調查各大商場，發(fā)現(xiàn)促銷的方式有很多，如直接打折、滿減、買二送一、積分返現(xiàn)等. 假設商場只考慮打折和滿減這兩種促銷方式（兩種促銷方式不疊加），我們想比較哪一種促銷方式商場獲得的利潤最大. 為了簡化模型，假設商場商品以打八折或滿100元減20元這兩種方式進行促銷. 設商品標價為[x]元，兩種促銷方式下消費金額對應的函數(shù)分別為[fx，gx].

可以看出，優(yōu)惠率隨著購物金額呈現(xiàn)循環(huán)往復的規(guī)律波動，在[199≤x<299，299≤x<499，x≥499]三個函數(shù)區(qū)間內，優(yōu)惠率隨著購物金額的增加而下降，在每個函數(shù)區(qū)間內，分別當[x=199，x=299，x=499]時，優(yōu)惠率達到最大，分別約為10.1%，16.7%，22.0%，且這三個最大值也逐漸增大. 所以并不是購物金額越大，優(yōu)惠率越高，而要在購物金額接近199元，299元，499元時考慮適當“湊單”，以便享受更大優(yōu)惠. 其他情形還要理性消費，不要為了“湊單”而買一些無用的東西.

組3：如圖3，用GeoGebra軟件作圖，可以看出當[0

組4：如圖4，虛線代表“先打折，再滿減”的情況；實線代表“先滿減，再打折”的情況. 當[0

組5：分析對于滿100元減20元的優(yōu)惠模型g（x）=MOD（x，100）+INT（x/100）×（100-20）.]

例如，當[x=80]時，[fx=64，gx=80，f80

當[x=100]時，[fx=80，gx=80，f100=g100;]

當[x=150]時，[fx=120，gx=130，f150

當[x=200]時，[fx=160，gx=160，f200=g200.]

發(fā)現(xiàn)對于整百元的商品，兩種促銷方式價格一樣，其余情況均為滿減的方式對商家更有優(yōu)勢. 我們還利用偽代碼編程仿真實現(xiàn)了自動化分析，編程如5所示.

我們可以用計算機編程，對變量進行賦值，通過比較選擇最有利于商家的一種促銷模式.

5. 回歸現(xiàn)實，反思結果

各組分別從不同角度進行建模，并對所建模型進行分析. 其中，為了簡化模型，我們只考慮了購物金額、優(yōu)惠率或折扣率，但對現(xiàn)實仍然具有一定的指導意義. 例如，作為消費者，不要被商家的促銷策略所誘導，我們已經(jīng)知道并不是購物金額越大，優(yōu)惠率就越高. 相反，隨著購物金額的逐漸增大，優(yōu)惠率還可能越來越低. 有時商場對不同商品采取的促銷方式也不一樣，如有的商品是直接打折，有的商品是滿減，或者滿額返券，這種促銷方式可能更為復雜，因為返的券還要進行消費，往往要結合幾種不同的優(yōu)惠方式才能得到更多的優(yōu)惠.

而作為商家，本次建模主要考慮的是先打折再滿減和先滿減再打折這兩種促銷方式哪種獲利最多，實際上還有很多因素需要考慮，如消費者的心理、消費群體的特征，商場哪些商品適合打折、哪些商品適合滿減等，除此之外還要考慮庫存、成本、定價等因素. 有興趣的同學可以在課后繼續(xù)研究.

五、幾點體會

本次數(shù)學建模活動，我們面對的是現(xiàn)實生活中購物消費的情境，各組學生從不同的角度提出問題，運用分類討論的思想，把不同問題用分段函數(shù)加以表征，給出了簡化的模型. 在求解模型時，利用Excel繪制散點圖、折線圖等，利用GeoGebra軟件繪制函數(shù)圖象，以及利用計算機編程，通過分析、比較與計算，得到了相應的結論.

數(shù)學建模問題一般比較復雜，需要進行長期的探索、研究，學生開始會覺得無從下手，甚至限于知識儲備，可能會對數(shù)學建模活動望而生畏，這時需要教師及時指導，鼓勵學生勇于參加數(shù)學建模活動，大膽提出問題，嘗試建立數(shù)學模型. 數(shù)學建模活動需要團隊合作，每位成員都要增強團隊意識，充分發(fā)揮自己的特長，并善于吸納隊友的建議，通過集體的智慧，借助信息技術，使問題不斷得以修正和解決.

數(shù)學建模與其他數(shù)學核心素養(yǎng)緊密相關：對現(xiàn)實問題進行數(shù)學表達需要學生具備數(shù)學抽象和邏輯推理素養(yǎng)；建立模型需要對數(shù)據(jù)、信息、圖表等進行處理，需要學生具備直觀想象素養(yǎng)；求解模型需要學生具備邏輯推理和數(shù)學運算素養(yǎng). 而對模型的分析、修正等，不僅需要數(shù)學知識，更需要其他領域知識的輔助. 因此，數(shù)學建模活動是跨學科學習的良好載體，教師要不斷增強跨學科意識，不斷提高學生信息技術水平，增強學生對數(shù)學建模活動的情感體驗，提高對數(shù)學建模的學習興趣.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部. 普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］黃翔，童莉，史寧中. 談數(shù)學課程與教學中的跨學科思維［J］. 課程·教材·教法，2021，41（7）：106-111.

［3］王建忠，張萍. 基于計算思維的折扣分析［J］. 宜賓學院學報，2013，13（6）：29-32，42.