數(shù)學(xué)史視角下的單元教學(xué)實踐研究

摘? 要：單元教學(xué)是落實數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)的一種重要方式. 但在實際教學(xué)中，部分教師對怎樣進行單元教學(xué)分析、怎樣理解教材的編排方式、怎樣挖掘教材習(xí)題的價值仍然存在困惑. 從數(shù)學(xué)史的視角審視以上問題，能促進教師更好地理解和把握單元教學(xué)的聯(lián)系性和整體性.

關(guān)鍵詞：圓錐曲線；數(shù)學(xué)史；單元教學(xué)

數(shù)學(xué)單元教學(xué)是指在整體觀念的引導(dǎo)下，以培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為目標(biāo)，對教學(xué)內(nèi)容進行整合優(yōu)化，將處理后的教學(xué)內(nèi)容作為一個相對獨立的教學(xué)單元，以便凸顯教學(xué)內(nèi)容的主要線索及知識之間的邏輯關(guān)系. 單元教學(xué)有利于借助大框架進行高觀點統(tǒng)領(lǐng)、思想性駕馭、結(jié)構(gòu)化關(guān)聯(lián)，能有效規(guī)避課時教學(xué)整體感不強、學(xué)習(xí)碎片化的問題，有利于促進知識和方法的遷移.

然而，在實際教學(xué)中，也有部分教師不清楚怎樣進行單元教學(xué)分析，不了解如何處理單元與課時的關(guān)系，不明確在單元教學(xué)中怎樣挖掘教材習(xí)題的價值. 這部分教師仍采用單個課時推進的方式進行課堂教學(xué)，對每節(jié)課涉及的知識做面面俱到的講解，其所謂單元教學(xué)只是在學(xué)完一單元內(nèi)容后進行簡單總結(jié)，學(xué)生在課堂中所學(xué)的知識依然是碎片化的.

本文以人教A版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》選擇性必修第一冊（以下統(tǒng)稱“新版教材”）中的“圓錐曲線的方程”單元為例，從知識內(nèi)容的聯(lián)系性和研究方法的整體性角度對教材進行分析. 再以此為基礎(chǔ)，從數(shù)學(xué)史的視角嘗試解決一些單元內(nèi)容重構(gòu)時的困惑.

一、“圓錐曲線的方程”單元的教材內(nèi)容分析

“圓錐曲線的方程”的單元設(shè)置以三種圓錐曲線的概念和相關(guān)特征的學(xué)習(xí)為主線，三種圓錐曲線在知識內(nèi)容上有一定的邏輯關(guān)系，研究方式有較強的關(guān)聯(lián)性.

從幾何角度來看，圓錐曲線是用平面截圓錐所得的截線，故三種曲線之間具有天然的內(nèi)在聯(lián)系，借助離心率可以得到它們的統(tǒng)一定義. 此外，三種圓錐曲線的“個性特征”也很明顯，新版教材以三種圓錐曲線的“個性特征”為明線定義三種圓錐曲線. 同時，以具體實例結(jié)合延伸性材料的方式滲透“統(tǒng)一定義”.

從代數(shù)角度來看，用代數(shù)方法研究圓錐曲線具有一般模式：呈現(xiàn)背景—歸納概念—標(biāo)準(zhǔn)方程—研究幾何性質(zhì)—具體應(yīng)用. 每個環(huán)節(jié)也有一定的程序性，特別是求標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟，將用坐標(biāo)法處理幾何問題的優(yōu)勢體現(xiàn)得淋漓盡致，也使學(xué)生深刻認識到了數(shù)和形的辯證統(tǒng)一，這是本單元學(xué)習(xí)的一條暗線.

新版教材對本單元內(nèi)容的呈現(xiàn)是“總—分—總”的編排方式. 首先，通過梅內(nèi)克繆斯平面截直圓錐模型總體建構(gòu)橢圓、雙曲線、拋物線的概念，引出大單元的學(xué)習(xí)內(nèi)容. 其次，分三個子單元進行學(xué)習(xí)，每個子單元的研究方法和操作過程是相似的. 換言之，通過橢圓的學(xué)習(xí)就能弄清楚圓錐曲線的研究套路，也就是說，橢圓的學(xué)習(xí)是本單元的重點內(nèi)容. 最后，在知識學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上進行單元總結(jié)回顧，形成圓錐曲線學(xué)習(xí)研究的大框架.

二、圓錐曲線（橢圓）定義的追溯

1. 教學(xué)內(nèi)容重構(gòu)時的困惑

我們知道，圓錐曲線至少有三種定義方式，第一種是截線定義，第二種是軌跡定義，第三種是焦點準(zhǔn)線定義. 那么，這三種定義之間有什么關(guān)聯(lián)？旦德林雙球模型的意義何在？此外，為什么要把橢圓、雙曲線、拋物線稱為“圓錐曲線”？現(xiàn)實生活中看到的橢圓形象是否與“兩釘一線”畫出的橢圓一致？

在教學(xué)中要怎樣解決以上類似的困惑呢？或許，追溯圓錐曲線（橢圓）的定義可以給我們一些啟示.

2. 圓錐曲線定義的歷史演進

第一階段：圓錐截線定義.

公元前4世紀(jì)，圓錐曲線登上了數(shù)學(xué)舞臺，古希臘數(shù)學(xué)家梅內(nèi)克繆斯用一個與母線垂直的平面去截頂角分別是銳角、直角和鈍角的直圓錐，得到了橢圓、拋物線和雙曲線（如圖1），此時圓錐曲線沒有焦點的概念.

第二階段：橢圓性質(zhì)的研究和第二定義的出現(xiàn).

梅內(nèi)克繆斯之后，阿波羅尼奧斯（Apollonius）使用平面截對頂斜圓錐來表示圓錐曲線，人教A版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書·數(shù)學(xué)選修2—1》（以下統(tǒng)稱“舊版教材”）第二章的章前圖呈現(xiàn)了截線情形（如圖2），只不過章前圖中的圓錐是直圓錐. 對于缺乏代數(shù)工具的古希臘時期而言，研究圓錐曲線絕非易事. 以橢圓為例，阿波羅尼奧斯使用純幾何方法傾盡全力才獲得橢圓的焦半徑性質(zhì)，即橢圓上任意一點的兩條焦半徑之和等于長軸的長.

公元4世紀(jì)，帕普斯（Pappus）用幾何方法證明了“平面上，到一個定點和一條定直線的距離之比等于常數(shù)的動點軌跡為圓錐曲線，常數(shù)小于、等于和大于1時，軌跡分別是橢圓、拋物線和雙曲線”. 這便是我們熟知的焦點準(zhǔn)線性質(zhì)，也被稱為橢圓的第二定義.

第三階段：從橢圓畫法到軌跡定義.

因設(shè)計圣索菲亞大教堂而享譽世界的拜占庭數(shù)學(xué)家安提繆斯（Anthemius）依據(jù)阿波羅尼奧斯發(fā)現(xiàn)的橢圓焦半徑性質(zhì)得出了我們熟悉的“兩釘一線”橢圓作圖法，又稱“園藝師畫法”. 17世紀(jì)，法國數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家拉希爾在《圓錐曲線新基礎(chǔ)》中給出了橢圓的焦半徑定義；法國數(shù)學(xué)家洛必達根據(jù)“園藝師畫法”，以及拉希爾的新定義推導(dǎo)出了橢圓的方程.

第四階段：截線定義與軌跡定義的統(tǒng)一.

1822年，比利時數(shù)學(xué)家旦德林首次借助圓錐的內(nèi)切球，通過圓錐直接推導(dǎo)出了橢圓的焦半徑性質(zhì)，從而直觀證明了橢圓的軌跡定義與截線定義的一致性，也就是舊版教材第42頁“為什么截口曲線是橢圓”所呈現(xiàn)的內(nèi)容（如圖3）.

笛卡兒的《幾何學(xué)》激發(fā)了人們對圓錐曲線的研究興趣，人們開始關(guān)注圓錐曲線的繪制. 17世紀(jì)，荷蘭勤于動手的數(shù)學(xué)家舒騰（F.van Schooten）設(shè)計了多種不同的圓錐曲線規(guī)（如圖4），這些圓錐曲線規(guī)通過命題人的改編融于試題呈現(xiàn)在學(xué)生面前. 例如，2015年高考湖北卷理科第21題就與圖4（a）有關(guān). 此外，這些圓錐曲線規(guī)也為教學(xué)提供了豐富的素材. 例如，教師在教學(xué)時可以利用信息技術(shù)展示圓錐曲線規(guī)的操作方法，以提升學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)；也可以讓學(xué)生從圓錐曲線規(guī)作圖的角度對三種圓錐給出新定義，或者用解析法求出所繪曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

三、對教材單元內(nèi)容編排的一些思考

歷史相似性原理是指困擾世界的東西也會困擾兒童，世界克服其困難的方式提示教師兒童在其發(fā)展過程中會以類似的方式克服類似的困難. 用歷史相似性原理考慮教材內(nèi)容的編排，可以讓我們更好地理解編寫者的意圖（如圖5）.

由圓錐曲線（橢圓）歷史的追溯可知，平面截圓錐得曲線的截線定義是最原始的定義，其他的定義均為由這個原始定義推導(dǎo)出的性質(zhì)，并且截線定義也符合學(xué)生的直觀認知. 但是由于三種截線都沒有明顯的幾何特征，故要在此基礎(chǔ)上得出圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程對推導(dǎo)者的幾何能力要求較高，且推理過程比較復(fù)雜，超出了大多數(shù)學(xué)生的接受范圍，顯然不合適. 軌跡定義可以與圓的定義相銜接，容易作圖，進而得出“平面內(nèi)與兩個定點[F1，F(xiàn)2]的距離的和等于常數(shù)（大于[F1F2]）的點的軌跡叫做橢圓”的定義，再由“距離的和等于常數(shù)”聯(lián)想到“距離的差等于常數(shù)”也是很自然的. 因此，在教材中，“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”一節(jié)先直接呈現(xiàn)橢圓的具體畫法，再給出橢圓的定義，符合先有“兩釘一線”畫法再產(chǎn)生軌跡定義的歷史順序.

但是這樣選擇也存在問題.

一是與拋物線的定義無法銜接. 對于這個問題，新版教材的處理方式是以焦點準(zhǔn)線定義為補充，在橢圓、雙曲線的內(nèi)容上設(shè)置鋪墊. 例如，橢圓部分主要是第113頁例6“動點[Mx，y]與定點[F4，0]的距離和點[M]到定直線[l]：[x=2/54]的距離的比是常數(shù)[4/5]，求動點[M]的軌跡”；第115頁習(xí)題3.1第8題“點[M]與定點[F2，0]的距離和它到定直線[x=8]的距離的比是1∶2，求點[M]的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形”；第116頁“用信息技術(shù)探究點的軌跡：橢圓”. 雙曲線部分主要是第125頁例5“動點[Mx，y]與定點[F4，0]的距離和它到定直線[l]：[x=9/4]的距離的比是常數(shù)[43，] 求動點[M]的軌跡”；第127頁習(xí)題3.2第10題“設(shè)動點[M]與定點[Fc，0 c>0]的距離和點[M]到定直線[l]：[x=a2/c]的距離的比是[c/a a

二是有調(diào)查發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對此心存疑惑：橢圓的畫法是怎么想到的？定點為什么是兩個，而不是三個？為什么會與距離有關(guān)，而不是其他呢？……對于類似問題，新版教材進行了一些相應(yīng)處理：（1）通過第142頁的“文獻閱讀與數(shù)學(xué)寫作”欄目引導(dǎo)學(xué)生自行查閱與解析幾何的形成與發(fā)展有關(guān)的文獻，寫一篇數(shù)學(xué)小論文，從而使問題得到部分解決；（2）將只需要簡單的代數(shù)運算就可以得到的性質(zhì)設(shè)置為例題和習(xí)題. 例如，例題和習(xí)題中設(shè)計了從“角度”間的關(guān)系導(dǎo)出的性質(zhì). 第108頁例3“如圖6，設(shè)[A，B]兩點的坐標(biāo)分別為[-5，0， 5，0.] 直線[AM，BM]相交于點[M，] 且它們的斜率之積是[-4/9]，求點[M]的軌跡方程”；第121頁探究“如圖7，設(shè)[A，B]兩點的坐標(biāo)分別為[-5，0，][5，0.] 直線[AM，BM]相交于點[M，] 且它們的斜率之積是[4/9，] 試求點[M]的軌跡方程，并由點[M]的軌跡方程判斷軌跡的形狀，與上述例3比較，你有什么發(fā)現(xiàn)”；第126頁練習(xí)1“已知[A，B]兩點的坐標(biāo)分別是[-6，0，][6，0，] 直線[AM，BM]相交于點[M，] 且它們的斜率之積是[2/9.] 求點[M]的軌跡方程，并判斷軌跡的形狀”.

上述問題可以看作“直徑所對的圓周角是直角”的改造，具有拓展性，為課堂教學(xué)留下了發(fā)揮的空間.

四、怎樣挖掘教材習(xí)題的價值

作為教材內(nèi)容的重要組成部分，習(xí)題在促進學(xué)生知識的鞏固、能力的提升、思維的發(fā)展等方面有著不可代替的作用，從數(shù)學(xué)史的角度對教材習(xí)題進行拓展和引申，能促使教師更好地理解試題編制的意圖和潛在的教育教學(xué)價值. 限于篇幅，下文僅以一個具體實例談?wù)勅绾瓮诰蚪滩牧?xí)題的價值.

新版教材第115頁的綜合運用題2是一道與多個圓有關(guān)的軌跡問題，具體如下.

題目? 一動圓與圓[x2+y2+6x+5=0]外切，同時與圓[x2+y2-6x-91=0]內(nèi)切，求動圓圓心的軌跡方程，并說明它是什么曲線.

學(xué)生通過解決上述問題，能夠掌握圓與三種圓錐曲線的轉(zhuǎn)化關(guān)系，在加深理解基本概念的同時，有利于構(gòu)建本單元與上一單元“直線與圓的方程”內(nèi)容之間的聯(lián)系，體現(xiàn)所學(xué)知識的統(tǒng)一性，是發(fā)展學(xué)生思維能力的良好素材. 此外，其作為重要的命題背景出現(xiàn)在了高考試卷中，如2011年高考廣東卷理科第19題、2013年新課程全國Ⅰ卷理科第20題等.

在傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化中，諸如此類的問題常被稱為“容圓問題”，指求一個圓（或幾個互切的圓）與給定的直線（或圓弧線）相切，稱所求的圓為“容圓”.

晚清時期，數(shù)學(xué)家黃宗憲、蔣維鐘、周達等人都對“容圓問題”進行過研究，其中以周達的研究較為系統(tǒng). 周達在其專著《平圓互容新義》中將動圓與兩定圓（或直線與圓）的相切方式概括為下列三種情形.

情形1：如圖8，半徑不相等的兩個圓相交，或內(nèi)切，或內(nèi)含時，動圓若與其中一個圓內(nèi)切，與另一個外切，則其圓心的軌跡是橢圓.

情形2：如圖9，半徑不相等的兩圓相離，或外切，或相交，動圓若與兩定圓都相切（分外切和內(nèi)切兩種情形），則其圓心軌跡是雙曲線.

情形3：如圖10，一定直線與一定圓相離，或相切，或相交，若動圓與定圓及定直線都相切，則其圓心軌跡是拋物線.

周達對每種情形都給出了相應(yīng)的證明，但可以看出總結(jié)得還不夠完善，一些細節(jié)上存在著失誤.

考慮到問題的重要性，許多一線教師進行了深入、細致地分析：有的從用幾何畫板軟件演示的角度進行思考；有的對圓心軌跡可能出現(xiàn)的情形進行討論，但討論的情形不太完整，也存在一些值得商榷的細節(jié)問題.

在教學(xué)中，解決這類問題能使學(xué)生進一步感受分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想. 此外，借鑒歷史上數(shù)學(xué)家對“容圓問題”的研究經(jīng)驗，教師能夠?qū)φn堂上可能出現(xiàn)的障礙或困難進行預(yù)判，從而更加理性、從容地處理學(xué)生的錯誤與不足.

五、結(jié)束語

數(shù)學(xué)史的應(yīng)用為單元教學(xué)分析開辟了一條新的途徑，為教師提供了理解教材、改進教學(xué)的工具，對教師如何處理教材習(xí)題、獲取習(xí)題背后的價值給予了參考，在豐富教學(xué)素材的同時，使得教師更加明晰教材編寫者的意圖，加深了對單元教學(xué)整體性的理解，從而使學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)在課堂上得到落實.

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作者簡介：張青松（1984— ），男，中學(xué)一級教師，主要從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)和高考命題研究.