基于核心素養表現的中考數學壓軸題的評析和教學啟示

孫雪玉

摘 要：《義務教育數學課程標準（2022版）》明確學業考試命題原則：堅持素養立意，凸顯育人導向.核心素養為導向的考試命題，要關注數學的本質，關注通性通法，綜合考查“四基”“四能”與核心素養.中考試題具有選拔、評價、引領、促進教學等功能，對于一線教師來說最重要的無疑是引領教學方向.本文以一道中考數學壓軸題為例，展開對試題解法和教學策略的探究，以此體會核心素養的考查方式.

關鍵詞：核心素養;函數;教學啟示

《義務教育數學課程標準（2022版）》指出“三會”數學核心素養在初中階段主要表現為：抽象能力、運算能力、幾何直觀、空間觀念、推理能力、數據觀念、模型觀念、應用意識、創新意識.縱覽近幾年各省市中考數學試卷，命題者們將核心素養培養深入中考命題中，目的是優化教師課堂教學，促使核心素養落地. 2021年福建省中考數學壓軸題第25題（以下簡稱25題）的命制充分融入核心素養元素，筆者以此題為例進行試題評析，愿其中所訴觀點和做法能給初中同仁一些啟示.

1?原題呈現

已知拋物線y=ax²+bx+c與x軸只有一個公共點.

（1） 若拋物線過點P（0，1），求a+b的最小值；

（2） 已知點P₁（-2，1），P₂（2，-1），P₃（2，1）中恰有兩點在拋物線上.

① 求拋物線的解析式；

② 設直線l：y＝kx+1與拋物線交于M，N兩點，點A在直線y=-1上，且∠MAN=90°，過點A且與x軸垂直的直線分別交拋物線和l于點B，C.求證：△MAB與△MBC的面積相等.

2?試題賞析

本題是二次函數的綜合應用問題，既傳承了福建省連續六年中考壓軸題對函數思想方法的考查，又著重考查了初中數學的核心知識和關鍵能力，注重數學本質，體現課程標準，詮釋核心素養.

從核心知識上看，25題考查了一次函數、二次函數的圖象與性質、相似三角形的判定與性質、勾股定理、線段的中點及三角形面積等知識；從能力角度上看，試題著力考查了學生的畫圖識圖能力、運算推理能力、探究分析能力；從素養立意上看，試題布局點與線等基本元素，通過尋找對稱點、定點、定線，發現特殊圖形及數量關系，考查了幾何直觀和建模素養；利用相似三角形的性質、勾股定理、“直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半”定理建立方程并進行準確計算，考查了數學應用意識和運算素養；關注各小題之間的關聯和層次，對探究結論進行轉化論證，考查了數學抽象和數學推理素養.

3?解法研究

3.1?第（1）題用函數的觀念求最小值有以下兩個視角

視角1：根據已知條件得到a，b的數量關系，將a+b換元為a或b的函數，利用二次函數的性質求其最小值.

視角2：由已知拋物線過點P（0，1），可得y=ax²+bx+1，令x=1，則y=a+b+1，進而a+b=y-1，將a+b視為y的一次函數，利用一次函數的性質求其最小值.

因為拋物線與x軸只有一個公共點，所以拋物線頂點在x軸上，則同時在拋物線上的兩點只能為圖2，即P₁，P₃，以下同解法1.

3.3?第（2）題②存在三種解法??第（2）② 問通過動點、動直線與拋物線的結合，將代數與幾何的眾多知識相關聯，同時考查“運動變化”，充分體現了解析幾何的思想，注重初高中知識銜接，有力地發揮了壓軸題壓軸問的區分和選拔功能.

本題的解題關鍵有以下三點：（1） 在無圖情況下準確畫出圖形，強調函數背景下數形結合的重要性，考查學生畫圖識圖技能和直觀想象素養；（2） 根據題中所給條件“∠MAN=90°”，靈活運用相似三角形、直角三角形的性質構建方程，求證線段相等.在“變”中探求規律，以此發現“不變”，較好地滲透了數形結合、方程與函數、轉化與化歸等數學思想方法，同時本題多解歸一，體現數學思維的多樣性和靈活性；（3） 本題三種證明方法都要求學生具有很強的含參代數式的推理和計算能力，能在動態圖形背景下提煉相關幾何模型，有序有向思考，借助參數表征幾何元素，計算嚴謹精準，同時要具有高度的思維深刻性、靈活性和創新性，深入考查了學生的邏輯推理能力和數學運算素養.

（2） 第2①問典型錯誤如下：

用代入法得到三種情況的方程組后，沒有使用主干條件b²-4ac=0，無法得到方程組的解；

將第1問得到的c=1錯誤地使用在本題中；

正確求出對稱軸為y軸后，不知道對稱軸與b的關系，求出b為非零數值；

將P₁，P₂，P₃同時代入二次函數表達式得到無解方程組.

（3） 第2②問典型錯誤如下：

無法用k正確地表示出x₁，x₂；

對韋達定理的記憶錯誤；

猜測出x₀=2k，但缺少推理或推理過程出錯.

4.3?教學建議

（1） 對于點在函數圖象上的問題：代入法的訓練要強化x、y 的對應關系，例如本題點P（0，1），讓學生寫出x=0時，y=1，避免代入錯誤.

（2） 學生對于Δ=b²-4ac、頂點坐標公式、韋達定理的記憶不準確，建議復習時可以在簡單題中反復出現，同時加強理解各字母的意義以及與函數圖象的關系.

（3） 對于方程組和含參數方程解法存在的問題：不顧運算目標、不考慮算理盲目地進行推理演算.教學建議：引導學生有序有向思考，讓學生明晰運算方向，學會運算思維；運算思維技能化，優生要懂得計算方法的優選.

（4） 對于題目條件中“與x軸只有一個公共點”“點P₁（-2，1），P₂（2，-1），P₃（2，1）中恰有兩點在拋物線上”無法轉化成圖象進行直觀地理解和判斷，建議教學中引導學生函數問題務必先畫示意圖再解答，并從圖象上感知點與線、線與線的位置關系，以及函數的增減性和對稱性.

為此，教師要潛心研究中考試題所考查的知識、能力、思想方法和核心素養， 探索培養學生核心素養有效的教學模式，并在日常教學中給予落實和發展，這是教師進行有效教學的需要.

參考文獻：

［1］ 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）［M］ .北京：北京師范大學出版社，2022.

［2］ 鐘紅，孫洪波，高麗威.基于改革與創新的中考數學壓軸題命制［J］.中小學教師培訓，2021（2）：24-29.

基金項目：福建省廈門市第十五期中學學科帶頭人培養對象科研課題《初中數學幾何直觀教學實踐研究》研究成果（編號XMXD2022011526）.