核心素養視域下初中平面幾何入門實踐中“說”的藝術

金云濤

摘 要：在平面幾何的開始階段，學生存在著入門難的問題，主要原因有概念模糊、視角單一和語言薄弱.本文以實踐的角度，將“說”作為幾何直觀的方式，通過以說識圖、以說明理、以說鍛寫、以說促解，幫助學生打破困局，為幾何的學習打下堅實的基礎.

關鍵詞：平面幾何；核心素養；直觀

《義務教育數學課程標準（2022年版）》提出了以“三會”為內涵的數學核心素養，尤其提出了增強幾何直觀的理念，這對于把握初中平面幾何教學提供了一個重要立足點.事實上，平面幾何教學作為初中數學不可回避的話題，其發展過程一直都是數學教學的焦點，然而從學生角度而言，平面幾何入門難的聲音也從未停止.

實踐表明，學生對平面幾何方面接受起來比較困難主要在于以下幾點：一是概念模糊，學生簡化了對概念的識記，導致其對概念的本質不理解，對概念仍然停留在模糊的認知階段；二是視角單一，學生習慣于采用靜態的、具象的視角觀察，從而導致動態的、抽象的幾何視角難以形成，使得在正確建構圖形模型或是分析圖形特征時顯得束手無策；三是語言薄弱，幾何語言、文字語言、圖形語言和符號語言的傳遞和轉化能力不足加大了學生學習幾何的實踐難度，因此往往會出現面對圖形無話可說，面對求證無從論證的情況.

看圖說話，“說”作為一種更加深入的直觀的方式，串聯著圖形、思維、表達和再思考，旨在拉近學生與圖形的距離，完成幾何間的理解與表達的雙向奔赴，這為學生突圍概念模糊、視角單一和語言薄弱的幾何困局提供了靈感.

1?以說識圖，塑造動態概念的直觀性

概念是幾何的細胞，厘清基本概念是解剖幾何圖形的基礎，“說”是培養學生明晰幾何基本概念的有效途徑.有計劃地訓練學生“說”可以從以下三個方面入手：說概念，即要先找準基本概念及其表示；說動詞，在借助圖形表達數學對象時，在形的基礎上發展動態視角，抓住關鍵性動詞；說關聯，一切幾何圖形的建構都需要基本概念作為支撐，要學會將不同的基本概念緊密聯系起來.

以線的學習為例，點是幾何圖形最簡單的組成部分，從點到線正是幾何開枝散葉的第一步.

觀察圖1，請談談你對該圖形的認識.

顯然，學生在判斷時首先要對點和線的概念進行區分，在“說”點和直線的概念時，就會產生如何表示的困惑.以“說”為探索激勵的形式強化概念的直觀性教學，符號語言慢慢在學生說概念的過程中生長.

這是由點與線構成的圖形，這些基本要素靜態地呈現在學生眼前，教師需要以引導者的身份帶領學生用動詞說出要素概念，鍛煉學生用動態的眼光分析圖形的形成.例如：該圖形可以首先由一條直線l展開，在直線l上取一點O，則點O將直線l分成了兩個部分，分別是兩條射線，在點O的左右兩側各取點P、Q，就能表示出射線OP和射線OQ，其中O、P、Q三點之間又形成了三條線段，分別是線段OP，線段OQ和線段PQ.從一條直線開始，說出完整的圖形的形成過程，一方面把圖形說活了，另一方面是對于線段、射線和直線三者聯系的深入理解.誠然，一個靜態的圖形的形成會有多種方式，學生在以說識圖的過程中，首先要判斷好圖形的基本要素，然后正確選擇一個起始要素，恰當使用關鍵性動詞串聯起整個過程，在平時的訓練中，教師尤其要重視幾何常用語句的訓練，如“延長”“在? ? ? ? ? ? ? ? ? ?取點? ? ? ? ? ? ? ? ? ?”“連接”“過點? ? ? ? ? ? ? ? ? ?作? ? ? ? ? ? ? ? ? ?”等，讓學生敢說、能說、會說和勤說.

在動態的視角中，點和線作為構成圖形的基本要素會展現其在該圖形中的特征以及變化的可能，學生在說形成過程時，教師可以適當進行追問：

師：將“延長”換個動詞試試？

考慮圖形可能的變化，如使用動詞“旋轉”，將射線OQ繞著點O旋轉到OQ₁的位置，就構成了∠QOQ₁，這也是關于角的動態定義，即角可以看成是一條射線繞著它的端點旋轉到另一個位置所成的圖形（如圖2）.

在射線OQ旋轉的過程中，角的大小也會發生著變化.變化一個動詞會使原有圖形轉化為新的圖形，將兩類概念以說動詞的形式聯系起來記憶，使學生做到識有所依，在幾何動態視角中感受從一般到特殊的過程.

2?以說明理，培養命題推理的邏輯性

圖形是幾何的基礎，命題則是幾何的框架，學生在建立說圖慣性的基礎上，要培養直觀描述的本能.以說明理，教師需要鍛煉學生說命題的能力，以說條件鏈接關鍵圖形結構，以說結論架構目標命題邏輯，以領說和示范打通語言屏障，從二段論到多段論，達到命題間的不同組合.

在“探索平行”中，學生需從諸多條件中找到適當條件進行圖形的簡化.在這過程中，教師可以通過示范或給出一定條件幫助學生找到適用條件，以一組同位角為例（圖3）.

受圖形特征影響，“說”是促進學生直觀分析和解釋能力發展的高效措施，通過改變條件或結論，可以達到“一圖多說、各理互明”的效果，幫助學生從二段論發展到多段論.

觀察圖4，已知四邊形ABCD

師：（1） 如果? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，那么AD∥BC；

（2） 如果? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，那么AB∥CD；

以填空式的發問，在說理的過程中，有針對性地幫助學生建立命題的完整性和適用性格局.學生可以選擇合適的角度分析平行，需要注意的是，條件和結論的一一對應，不可混雜在一起，教師最后還應強調符號語言的完整表述.

師：（3） 如果AD∥BC，那么? ? ? ? ? ? ? ? ? ?；

（4） 如果AB∥CD，那么? ? ? ? ? ? ? ? ? ?；

（5） 思考在（3）（4）的條件下，∠A和∠C相等嗎？

有意識地引導學生選擇和組合條件，實現從二段論到多段論的邏輯飛躍.逐漸增加圖形的復雜度，這對于學生進行條件和結論的匹配要求更細致，不同的組合方向以及方式是學生體悟以說明理的靈感所在.

3?以說鍛寫，提高語言表達的準確性

識圖明理驅動著幾何語言的溝通，促進著幾何思維的發展，學生的書寫展示著其幾何能力逐漸走向成熟的過程.幾何題的講解有時面面俱到反而會顯得時間緊迫，這時教師可以要求學生口述分析過程，用幾何語言表達應該書寫的全過程^［1］，以說鍛寫，用說的方式對書寫查漏補缺.教師應當要利用好鍛寫素材，做好三項工作：說推理，指導學生理清正確流暢的推理邏輯；說書寫，強化學生書寫規范化；說重點，帶領學生多回顧，探究思路的核心與多樣性.入門訓練時仍是可以借助填空題的形式進行逐步疏導.

如圖5，點B、E分別在線段AC、DF上，AF分別交BD、CE于點M、N，∠1=∠2，∠A=∠F，求證∠C=∠D.

證明：∵∠1=∠? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（理由），

又∵∠1=∠2，

∴∠? ? ? ? ? ? ? ? ? ?=∠? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，

∴? ? ? ? ? ? ? ? ? ?∥? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（理由），

∴∠C+∠? ? ? ? ? ? ? ? ? ?=180°（理由）.

∵∠A=∠F，

∴? ? ? ? ? ? ? ? ? ?∥? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（理由），

∴∠D+∠? ? ? ? ? ? ? ? ? ?=180°（理由），

∴∠C=∠D（理由）.

以完善填空的形式首先幫助學生從無到有打開思路，厘清證明的邏輯，起到一個引領和示范的作用.填空的標準化幾何語言能夠指導學生在完善過程中語言趨于規范化，使得其有樣可學.

師：還有其他的證法嗎？

一題多證，舉一反三，帶領學生發現自己的證法.在填空式的模板下，要求學生有中生變，回顧證法，推敲細節，形成自己的推理邏輯.

師：這道題證明的關鍵是什么？

雖然學生可以選擇的角度很多，但在“說”的過程中，平行的判定和性質是繞不開的.在變中回歸本質，培養學生證明的核心意識，在之后的問題中，能夠抓住關鍵，那么整體的邏輯推理和書寫就會水到渠成.

在以說鍛寫的入門訓練中，一個有思考的模板十分關鍵，而填空恰是最好的載體，學生能從說中體悟幾何語言中的理與據，感悟幾何語言書寫的法與度.

4?以說促解，發展問題解決的整體性

問題解決是學生識圖明理鍛寫的最終目標，以說促解要求學生說建構、說可能、說后續.說建構是指在學生了解問題條件后能夠抓住關鍵邏輯模塊進行模型的推導和建構；

說可能是指學生聯系相關條件或結論，尋找解決問題的突破口，創設認知橋梁是教師的重要任務；說后續是指學生由一道題的解決領悟一類題的方法，主動說變式說延伸.

如圖6，已知AB∥DE，求∠B+∠C+∠D的度數.

4.1?說建構

從條件可知，模型建構的核心在于兩直線的平行關系，圍繞平行完成建構有多種支線可供選擇.

4.2?說可能

本題的難點在于同旁內角的構造及角的分割.若沒有點C，那么∠B和∠D是一組同旁內角，點C的出現使得角的個數變為了三個，可能考慮對角進行分割配對，則輔助線的添加必不可少.

可能一：

如圖7，連接BD，將∠B分為∠1和∠2，∠D分為∠3和∠4，則原本三個角被分割配對成一組同旁內角（∠1和∠3）與一組三角形內角（∠2、∠4和∠C），故∠B+∠C+∠D就可以轉化成∠1+∠3+∠2+∠4+∠C，其和為360°.

可能二：

如圖8，過點C作PC∥AB，點P取在點C左側，將∠C分為∠1和∠2，因為平行于同一條直線的兩直線互相平行，可得AB∥PC、DE∥PC，則對應有兩組同旁內角（∠B和∠1、∠D和∠2），故∠B+∠C+∠D就可以轉化成∠B+∠1+∠D+∠2，其和為360°.

4.3?說后續

深挖問題價值，以說延伸和說變式豐富學生對問題的理解.

后續1：

學生較多想到的是縱向的拓展，將點C再細分為點C₁和C₂，求∠B+∠C₁+∠C₂+∠D的度數，以此類推，將點C分為C₁、C₂至C_n個點，求B+∠C₁+∠C₂+…+∠C_n+∠D的度數.

后續2：

也有部分同學將點C的位置進行改變，可以放在線段BD的右側，也可以放在線段BD 的左側，探索∠B、∠C和∠D的關系.

后續3：

發展逆向思維，將條件和結論互換，已知∠B+∠C+∠D=180°，求證AB∥DE.

以說促解的訓練中，問題的靈活性影響著學生說的積極性，教師要創設認知階梯，突出問題重點，分散問題難點.在不同后續中，學生可以繼續探索原有方法的適用性，或是尋找具有普適性的一般方法，完善自身認知體系.

把說幾何看成是一場演講，有概念精細的開篇，有語言嚴謹的蓄勢，有邏輯靈動的高潮，有回味無窮的后續，如畫卷鋪開般呈現數學的脈絡.直觀不是“教”出來的，而是自己“悟”出來的，學生以直觀之說，感悟概念之深，思悟語言之精，體悟邏輯之序，打破平面幾何入門難的困局.如此以往，能使學生對幾何認知窺之深、察之遠，形成以圖形、概念、邏輯和書寫四位一體的幾何思維，從而促進學生推理能力和分析問題、解決問題能力的發展和提升.

參考文獻：

［1］ 包永卿.談幾何的入門教學［J］.知識經濟，2009（14）：135.