在創(chuàng)設“問題情境”中發(fā)現(xiàn)數(shù)學
——以“初識圓錐曲線”一課為例

王文杰

(江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)星海實驗中學 215021)

《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》(下稱《標準》)在教學建議中提出：基于數(shù)學學科核心素養(yǎng)的教學活動應該把握數(shù)學的本質，創(chuàng)設合適的教學情境、提出合適的數(shù)學問題，引發(fā)學生思考與交流，形成和發(fā)展數(shù)學學科核心素養(yǎng)[1]．那么教師如何在問題情境中引導學生發(fā)現(xiàn)數(shù)學，培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題、分析問題和解決問題的能力？筆者在一次省外教學交流活動中開設研討課“初識圓錐曲線”，對數(shù)學課堂教學中實踐“問題情境中發(fā)現(xiàn)數(shù)學”進行了嘗試與探索，現(xiàn)將教學過程及思考總結整理如下，與同行分享．

1 教學分析

關于本課教學內容，在高中數(shù)學人教A版選擇性必修第一冊第三章“圓錐曲線的方程”的前言里，只簡單敘述了用平面截圓錐面得到圓錐曲線．而本節(jié)課研究的主要目的是要讓學生感受到“數(shù)學知識”與“現(xiàn)實生活”的緊密聯(lián)系，學會看到生活中的數(shù)學問題，即“學生會用數(shù)學眼光觀察世界”．另外，本課從“感知靜態(tài)的圓錐曲線”到“探索動態(tài)的圓錐曲線”，既符合圓錐曲線發(fā)現(xiàn)和研究的歷史，滲透數(shù)學文化，又遵循學生認知的規(guī)律，知識研究循序漸進．

教學目標 (1)通過平面截圓錐面，感知靜態(tài)的圓錐曲線；(2)通過創(chuàng)設情境，探索動態(tài)的圓錐曲線，發(fā)現(xiàn)圓錐曲線的特征，掌握圓錐曲線的定義；(3)會用數(shù)學眼光觀察世界，感悟數(shù)學文化，提高發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的能力．

2 教學過程

2.1 設置情境，引出問題

情境1 生活中你見過這些圖形嗎(圖1)？

圖1

師：同學們，我們生活中見過這些圖形嗎？我們看到過哪些特別的曲線？

生(合)：見過……

設計意圖借助學生身邊常見的圖形，激發(fā)研究興趣，逐步引出研究的問題．

情境2 觀察圓錐形酒杯的液面，發(fā)現(xiàn)水平放置時與微傾時液面圖形有何變化(圖2)？

圖2

師：請觀察老師手中酒杯的液面，有什么變化？

生：圓錐形酒杯中液面從一個圓面變成了一個“扁圓”面．

師：輪廓曲線呢？

生：從圓變成了“扁圓”．

師：那什么是“扁圓”？“扁圓”又具有怎樣的特征呢？

設計意圖用生活實例現(xiàn)場演示，讓學生“真”觀察，進一步激發(fā)探究熱情，并引導學生要善于觀察生活，善于發(fā)現(xiàn)問題．

情境3 公元前3～4世紀，不少古希臘學者在圓錐面中用截面截得不同的曲線．請4～5位同學合作：觀察課桌上的幾何模型(圖3)，若用一個平面截該模型，可以得到幾種曲線？

圖3

學生觀察討論后，教師動態(tài)演示結果(圖4)．

圖4

生：……

師：我們分別稱其為橢圓、雙曲線、拋物線．又因為這三種曲線最早都是由截圓錐面得到的，所以又將其統(tǒng)稱為圓錐曲線．

師：今天我們重點研究圓錐曲線中的橢圓．

設計意圖歷史文化與現(xiàn)代科技結合，讓學生“知其然”又“知其所以然”．

情境4 模擬點光源投影實驗．

師：如果點光源位于球心的正上方，平面上的投影是個圓面，輪廓曲線就是個圓(圖5)；如果點光源稍微偏離正上方一點，平面上的投影是個橢圓面，輪廓曲線就是個橢圓(圖6)，其實就相當于情景3中的平面截圓錐面得到的曲線橢圓．

師：類比圓的特征，你能發(fā)現(xiàn)橢圓的特征嗎？

生：圓上的點到切點(圓心)的距離等于定值．橢圓上的點到切點的距離不等于定值．

師：為什么不是定值？

生：因為切點有點偏在右側．

師：提醒一下，橢圓圖形好像也有對稱性的，如果考慮對稱性，左側是不是也應該有個切點比較合理？這個切點怎么得到呢？我們可以在投影的下方放一個球，這個球與上方的球一樣，滿足：與投影面相切，與圓錐面相切(圖7)．當有兩個切點后，你的想法是什么？

生：曲線上的點到兩切點的距離之和是否是定值？

師：好．下面我們一起來證明它．如圖7，過點M作圓錐面的一條母線分別交圓O1，圓O2于P，Q兩點，因為過球外一點作球的切線長相等，所以MF1=MP，MF2=MQ，所以MF1+MF2=MP+MQ=PQ，即MF1+MF2=定值．

師：上面的證明，最早是在1822年由比利時數(shù)學家丹德林(1794—1847)發(fā)明的，我們將其稱為丹德林雙球實驗．

設計意圖考慮數(shù)學課堂上實現(xiàn)點光源投影實驗有一定難度，且為避免教學重點“本末倒置”，所以簡化為模擬點光源投影實驗，既讓學生體會到生活實例的熟悉感，又快速引出對橢圓定義的研究．

2.2 數(shù)學建構，探究問題

問題：類比“圓”的定義，你能給出“橢圓”的定義嗎？

師：平面內到一定點O的距離等于定值(定值大于零)的點的軌跡叫作圓，這個定點叫作圓的圓心，定值叫作圓的半徑．那么橢圓的定義呢？

生(討論后，合作補充完成)：平面內到兩定點F1,F2的距離的和等于常數(shù)(大于F1F2)的點的軌跡叫作橢圓，兩個定點F1,F2叫橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫作橢圓的焦距．

設計意圖通過生活中實例、問題情境的引導，學生發(fā)現(xiàn)數(shù)學問題，并將發(fā)現(xiàn)的“數(shù)學”抽象概括，培養(yǎng)數(shù)學的核心素養(yǎng)能力．當然抽象概括數(shù)學的概念、性質、定理等都是數(shù)學教學的難點，學生的數(shù)學抽象能力不是一蹴而就的，但是也不能因“數(shù)學抽象”是難點就避而遠之，讀教材、抄板書是培養(yǎng)不出學生的數(shù)學抽象能力的．本節(jié)課在數(shù)學知識建構時，引導學生思考“圓的定義”，教會學生用“類比”開放式的思維方式去抽象概括，并以師生合作、生生合作的方式慢慢“打磨”橢圓概念，以此培養(yǎng)能力，提升素養(yǎng)．

2.3 數(shù)學運用，解決問題

例由2～3位同學合作，試用所給的棉線畫出一個橢圓．

師：你確定你畫的曲線是“橢圓”嗎？若是，請說明理由；若不是，也請找出問題．

設計意圖學會運用數(shù)學的眼光觀察世界，生活中處處都是數(shù)學，學生拿著一條棉線畫出一個個“圓扁不一”的圖形時，心中已經感受到數(shù)學無限的魅力．當然教師會充分挖掘“圓扁不一”的圖形的價值，追問學生：所畫圖形是不是橢圓？如果是，理由呢？如果不是，為什么？進而讓學生看著自己畫的“圓扁不一”的圖形，進一步認識橢圓的定義，內化數(shù)學知識，升華教學重點．

3 教學反思

3.1 “問題情境”是學生發(fā)現(xiàn)數(shù)學的窗口

本節(jié)課的四個問題情境，從靜態(tài)初識“圓錐曲線”到動態(tài)初識“圓錐曲線”，從生活中的“圓錐曲線”到數(shù)學圖形中的“圓錐曲線”，從感性地發(fā)現(xiàn)“圓錐曲線”到理性地證明“圓錐曲線”，既符合數(shù)學歷史上發(fā)現(xiàn)與發(fā)展的客觀實際，又遵循學生發(fā)現(xiàn)數(shù)學的認知規(guī)律．《標準》中指出：“教學情境和數(shù)學問題是多樣的、多層次的．教學情境包括：現(xiàn)實情境、數(shù)學情境、科學情境，每種情境可以分為熟悉的、關聯(lián)的、綜合的”[1]．所以教師設計的問題情境不僅要很好地引出新知，更要在潛移默化間讓學生感受數(shù)學知識與現(xiàn)實世界之間的密切聯(lián)系，要簡潔高效、精彩有效、科學正確，不能“嘩眾取寵”“喧賓奪主”，也不能“簡單堆砌”“不知所云”，更不能“歪曲歷史”“違背科學”；教師設計的問題情境要結合現(xiàn)實生活、研究數(shù)學文化、綜合其他學科的知識，要洞悉學生的學習“興趣點”、了解學生知識的“最近發(fā)展區(qū)”，要把握課堂教學的方向和目標，要讓學生感到既“遠”又“近”、既“陌生”又“熟悉”、既“精彩”又“科學”．只有這樣設計的問題情境才是學生喜愛數(shù)學、發(fā)現(xiàn)數(shù)學的窗口．

3.2 “問題情境”是學生思考數(shù)學的引擎

高中數(shù)學課程學習要提高學生從數(shù)學角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力，這就要求教師設計的問題情境是多樣的、多層次的、變化的、靈動的．例如：本課師生探究情境2時，學生課堂意外生成“扁圓”，教師借力追問：“什么是‘扁圓’？‘扁圓’又具有怎樣的特征呢？”；當學生用棉線畫出“圓扁不一”的圖形時，教師適時提問：“你確定你畫的曲線是‘橢圓’嗎？若是，請說明理由；若不是，也請找出問題．”教師要做好學情分析，了解學生的興趣點、挖掘學生身邊的數(shù)學素材、把握知識之間的相互聯(lián)系，善用“追問”提好問題，讓學生在“問”與“答”之間、“思考”與“再思考”之間，學會用數(shù)學眼光觀察世界、用數(shù)學思維思考世界、用數(shù)學語言表達世界，讓學生在思考和解決問題的過程中，理解數(shù)學內容的本質，只有這樣設計的問題情境才是學生思考數(shù)學的引擎、學生核心素養(yǎng)培育的點火器．