兩道上海高中自招平面幾何題的解析與思考

李鐘全

(江蘇省南京市中華中學 210019)

1 背景簡介

上海高中自主招生考試是由上海各所高中自主命題的入學考試，主要為了招收學有特長和有潛力的學生．自主招生考試主要考查的是學科知識，有的學校還設置了面試環節．理科自招題型較為偏競賽題，題目新穎且拓展性強，部分數學、物理題涉及高中內容，類似于某些城市的特長生招生考試．《普通高中數學課程標準(2017年版2020年修訂)解讀》中指出：在目前的高中數學中，幾何與代數成為密切聯系的整體，這是將“幾何與代數”作為主線的主要原因．在小學、初中以及高中，需要學習很多圖形，對這些圖形可以從以下幾個方面整體把握：幾何圖形分類、圖形研究基本問題、研究圖形基本思想方法、幾何直觀——形數結合[1]．這些內容主要涉及平面向量、復數、立體幾何模型、空間向量、解析幾何等單元體系，而這些知識主要是與初中平面幾何相聯系展開研究，其中尤以圓為背景的問題居多．本文剖析以下兩道典型試題．

2 典例分析

圖1

分析對于這類圖形具有對稱性的問題，幾何法與代數法應該都是行之有效的方法．先嘗試用幾何法分析：本題已知條件是三角形內一個點至三頂點的距離，類似于費馬點問題中三個距離之和的最小值，故可以嘗試運用證明費馬點的方法，通過旋轉三角形構造全等去求解．

說明 本題也可以將△CDB繞點C逆時針旋轉90°，處理方法大致相同，讀者可自己嘗試．

圖2

圖3

點評本題是一道非常簡約的初中平面幾何問題，但非常巧妙地銜接了初、高中的數學知識和方法．其中幾何法中滲透了射影幾何中旋轉變換的觀點，非常巧妙．代數法運用勾股定理(余弦定理)將幾何問題代數化，化為邊的方程組，通過方程思想求解．最后結合平面幾何相關定理，運用解析法巧妙地求出點的位置即為半徑大小，體現解析幾何的核心思想．本題的解法圍繞圓這一核心內容觸類旁通，體現數形結合、化歸與轉化等重要核心思想．本題非常巧妙地考查了學生的直觀想象、數學運算等核心素養，對于一道初升高自主招生題來說具有較好的選拔功能．

思考在初中平面幾何教學中教師會教授許多相似的構型，如順相似、逆相似、旋轉相似等．本題的解法1就是通過旋轉相似的方法進行轉化進而求解．平面幾何教學應當重視基本圖形和結構的教學，引導學生通過常見的平移、翻折、旋轉等方法將復雜問題簡單化，從而為高中幾何的學習打下扎實的基礎．

試題2如圖4，冬奧會期間甲、乙兩名滑冰運動員分別在圓形滑冰場的⊙O點A，B處，OB=20 m,OA=15 m,且OA⊥OB．乙以5 m/s的速度從點B沿著圓形滑冰場⊙O邊順時針方向滑行，在乙離開點B的同時，甲也以5 m/s的速度從點A沿著一條直線滑行，這條直線能使甲、乙在給定速度下最早相遇，則最早相遇的時間在( )(s)內[3]．

圖4

A.(0,5) B.(5,6) C.(6,7) D.(7,10)

由相交弦定理知AC·AC1=AD·AD1，則(AC-AC1)2=(AC+AC1)2-4AC·AC1<(AD+AD1)2-4AD·AD1=(AD-AD1)2．顯然AC-AC1>0，AD-AD1>0，故AC-AC1

①+②得AC

由ABt≥AB=25，得t≥5，則乙至少滑行了25 m．

從而t<7，所以答案選C．

圖5

點評本題是一道以圓為背景的上海高中自招題，學生易從圖形角度分類討論去發現范圍．若運用高中方法，則滲透了高中數學重點考查的核心能力與思想方法——等價轉化、函數與方程，而且作為證明過程也非常嚴謹，培養了學生的數學建模與邏輯推理等核心素養．可見多角度分析問題能夠全面綜合提升學生的學習能力及素養．

思考在教學中教師要帶領學生熟悉與圓相關的基本模型和結論，如本題解法1中用到了相交弦定理．除此之外，我們還要讓學生熟悉并常用圓冪定理(切割線定理等)．解法2中運用的余弦定理和求導的方法是高中用于處理與圖形有關的邊角關系最值的常見做法，教師不能回避或淡化該類方法，而應選擇和學生一起分析求解過程，為學生數學運算核心素養的提升提供必要的支持．

3 結束語

《中國高考評價體系》指出：高考考查特別重視“核心價值、學科素養、關鍵能力、必備知識”的“四層”考查內容，其中“關鍵能力”是支撐和反映學生專業素質特點的基本才能體現．關鍵能力中第三方面就是包含了所有重要思維能力的思維學習知識能力群，主要分為形象和抽象思維能力、綜合歸納能力、演繹與推理能力、批判思維能力、辯證與統一綜合能力等[4]．在筆者看來，獨立、有創造性地思考是首要能力，能夠多視角、發散地、逆向地解決問題，就需要我們在解決問題時通過一題多解、正反分析論證、變式探究等途徑加以落實．好的高考、自招和競賽題就擔負了如此的任務和功效，它要求學習者發掘新問題、使用新辦法、處理新問題、得出新結果．學生若能不斷反思總結自身解決新問題的過程，必然能達到中國高考評價體系的要求，以適應并達到高校通過強基計劃、自主招生選拔優秀人才的需要．

初中平面幾何的教學，要讓學生明白什么是“嚴謹的科學”，什么是嚴密的邏輯推理．邏輯推理素養的培養要滲透、貫穿高中數學學習的全過程．在高中學習內容板塊(函數、幾何與代數、概率與統計、數學建模與探究)的概念、命題、證明等教學過程中，都應引導學生有邏輯地思考、表述、交流問題，不斷全面提升學生的邏輯推理素養．