差異分析策略在2022年新高考數(shù)學(xué)試題中的應(yīng)用探究*

楊宇佳 蘇洪雨

(華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 510631)

1 背景

*本文系國(guó)家教育考試科研規(guī)劃2021年度重點(diǎn)課題“面向教考銜接的新時(shí)代高考數(shù)學(xué)內(nèi)容改革研究”(GJK2021008)、廣東省高等教育教學(xué)改革項(xiàng)目“新師范課程‘?dāng)?shù)學(xué)解題研究’線上線下混合教學(xué)設(shè)計(jì)研究”(粵教高函〔2020〕20號(hào))的階段性研究成果.

2022年新高考試題深化基礎(chǔ)性考查，注重?cái)?shù)學(xué)的本質(zhì)與創(chuàng)造性思維，深入考查核心素養(yǎng)和關(guān)鍵能力[1]，因此要想學(xué)好數(shù)學(xué)，領(lǐng)會(huì)精髓，必須要掌握最基礎(chǔ)的兩個(gè)能力：精確計(jì)算和嚴(yán)謹(jǐn)證明.美國(guó)著名教育家波利亞曾說(shuō)過(guò)：掌握數(shù)學(xué)就意味著要善于解題.而數(shù)學(xué)題目是千奇百怪、變化莫測(cè)的，當(dāng)解題遇到瓶頸時(shí)，到底應(yīng)當(dāng)如何應(yīng)對(duì)？利用解題技巧，只能對(duì)固定的某類問(wèn)題進(jìn)行套路化的解題程序，仍處于解題的識(shí)別、模仿等低能力層級(jí)，是新高考正要逐步淡化的內(nèi)容；而僅僅了解解題思想，對(duì)解題的方向指引也較低[2].因此需要一個(gè)真正能在解題時(shí)提供思路，但又不是某種固定題型的套路化程序的方法.實(shí)際上這就是解題策略：當(dāng)解題陷入困境時(shí)，能利用某種有效的解題策略靈活調(diào)動(dòng)知識(shí)，獲得相應(yīng)的解題路徑.

基于上述背景，對(duì)差異分析這個(gè)解題策略進(jìn)行研究，選取2022年新高考數(shù)學(xué)試題中的部分題目，利用差異分析策略逐一進(jìn)行探究，領(lǐng)會(huì)差異分析在數(shù)學(xué)解題過(guò)程中的作用和效果.

2 解題中的差異分析策略

通過(guò)分析題目給出的條件與所要求的結(jié)論之間的異同，并不斷減少目標(biāo)差來(lái)完成解題的策略，稱為差異分析策略[3].運(yùn)用差異分析可以同時(shí)考慮“從哪里入手”和“向哪里前進(jìn)”這兩個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題，通過(guò)靈活調(diào)動(dòng)已經(jīng)內(nèi)化的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，找到解題方法或簡(jiǎn)化解題過(guò)程.

以下是解題過(guò)程中差異分析策略的具體步驟：

(1)尋找題目給出的條件與所要求的結(jié)論中出現(xiàn)的特征,如：數(shù)量特征(元素個(gè)數(shù)、字母的系數(shù)或指數(shù)等)、關(guān)系特征(大于或等于、平行或垂直等)和位置特征等；

(2)尋找條件與結(jié)論中的特征差異，即目標(biāo)差；

(3)靈活調(diào)動(dòng)已掌握的知識(shí)點(diǎn)，主動(dòng)作出嘗試減少目標(biāo)差的反應(yīng)，向著減少目標(biāo)差的方向前進(jìn)，完成解題.

使用差異分析進(jìn)行解題時(shí)，注意不能盲目地作出反應(yīng)，減少目標(biāo)差的調(diào)節(jié)要反復(fù)多次發(fā)揮作用，使得目標(biāo)差的減少可以積累起來(lái)，這樣的行為才是有效果的.

3 差異分析策略在解新高考試題中的應(yīng)用

3.1 三角恒等變換

三角函數(shù)的化簡(jiǎn)、證明和求值變換是學(xué)習(xí)的一大難點(diǎn)，它對(duì)思維的靈活性和邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)有較高要求.這類題型本應(yīng)是較易得分的題目，但很多考生在處理?xiàng)l件時(shí)，因?yàn)榉较虿粚?duì)導(dǎo)致沒(méi)有思路或?qū)覍遗霰冢诳紙?chǎng)上耗費(fèi)大量時(shí)間.通過(guò)這道新高考的三角函數(shù)例題可以發(fā)現(xiàn)，解題的關(guān)鍵在于掌握三角函數(shù)的公式，當(dāng)沒(méi)有思路或方向錯(cuò)誤時(shí)，可以考慮對(duì)角、函數(shù)名和運(yùn)算結(jié)構(gòu)進(jìn)行差異分析，再靈活運(yùn)用公式去建立差異間的聯(lián)系，并不斷減少這樣的目標(biāo)差[4].在此過(guò)程中，如果熟悉變換方法，把握變換方向，并恰當(dāng)運(yùn)用變換技巧，就能靈敏地應(yīng)用差異分析策略來(lái)解決此類問(wèn)題.

3.2 不等式的證明

例2(2022新高考II卷12題)若實(shí)數(shù)x,y滿足x2+y2-xy=1，則( ).

A．x+y<1 B．x+y≥-2

C．x2+y2≤2 D．x2+y2≥1

分析 尋求已知式x2+y2-xy=1和未知式x+y,x2+y2之間的差異，減少它們之間的目標(biāo)差，構(gòu)建聯(lián)系.

觀察x2+y2-xy=1和x+y之間的差異，發(fā)現(xiàn)完全平方公式(x+y)2=x2+y2+2xy與之相關(guān)，因此不妨嘗試將已知式轉(zhuǎn)化為完全平方公式進(jìn)行觀察，即x2+y2=1+xy?(x+y)2=1+3xy，顯然當(dāng)x,y>0時(shí)x+y>1，故A錯(cuò)誤.

由于x2+y2=1+xy，選項(xiàng)D要判斷x2+y2與1之間的大小關(guān)系，要減少二者差異，不妨設(shè)xy<0，此時(shí)x2+y2顯然小于1，故D錯(cuò)誤.

分析 觀察不等號(hào)左邊與右邊ln(n+1)的差異，嘗試作出一些減少目標(biāo)差的反應(yīng)，通過(guò)逐步消除差異進(jìn)行求解.

不等式的證明是通過(guò)邏輯推理來(lái)判斷不等式的變量在允許的取值范圍內(nèi)使得不等式成立.其證明思路開闊，方法靈活，技巧性強(qiáng)，往往需要運(yùn)用創(chuàng)造性思維和較高的運(yùn)算技巧.通過(guò)這道新高考中的不等式例題可以發(fā)現(xiàn)，不等式的證明可以考慮從不等號(hào)兩邊的式子入手，觀察它們之間的差異，借助已有的函數(shù)、數(shù)列、導(dǎo)數(shù)等相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，減少它們之間的不同.這一步對(duì)不同模塊的知識(shí)掌握和調(diào)動(dòng)能力有一定要求，較復(fù)雜的不等式的證明，甚至還需要綜合運(yùn)用多種方法和技巧來(lái)完成.當(dāng)目標(biāo)差被一步步減少時(shí)，不等式的結(jié)論也會(huì)逐步清晰.

3.3 恒等式證明

例4(2022天津卷18題)設(shè){an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，且a1=b1=a2-b2=a3-b3=1．設(shè){an}的前n項(xiàng)和為Sn，求證：(Sn+1+an+1)bn=Sn+1bn+1-Snbn.

分析 根據(jù)題目可得an=2n-1,bn=2n-1.要證(Sn+1+an+1)bn=Sn+1bn+1-Snbn①,①式中含有{an}的前n項(xiàng)和Sn，而目前僅知an,bn的通項(xiàng)公式，要想減少二者差異，需找到Sn與an間的聯(lián)系：an=Sn-Sn-1(n>1)或an+1=Sn+1-Sn②.觀察①式和②式之間的差異：①式中每項(xiàng)都存在一個(gè)與bn相關(guān)的式子，而②式?jīng)]有，故作出減少目標(biāo)差的反應(yīng)，嘗試讓bn不再出現(xiàn)，可將①式表達(dá)為(Sn+1+an+1)bn=Sn+1·2bn-Snbn，由于bn≠0，就可以在等式兩邊消去bn，這時(shí)①式可表達(dá)為Sn+1+an+1=2Sn+1-Sn，實(shí)際上，Sn+1-Sn=an+1恰好為已知的②式，故原式得證.

恒等式的證明分為一般恒等式的證明和條件恒等式證明.對(duì)于一般恒等式的證明，常常通過(guò)恒等變形從一邊證到另一邊，或證兩邊都等于同一個(gè)數(shù)或式；要證明條件恒等式，可以從條件入手推出結(jié)論，或從結(jié)論入手構(gòu)造條件，還可將條件和結(jié)論同時(shí)改變，以創(chuàng)造運(yùn)用條件的機(jī)會(huì).這種等式的計(jì)算或證明，是代數(shù)式部分的綜合應(yīng)用.差異分析能夠給出一種直截了當(dāng)?shù)耐ㄐ酝ǚ?例4本質(zhì)上是一個(gè)條件恒等式，可以利用差異分析，只需知道通項(xiàng)和前n項(xiàng)和之間的關(guān)系就能得到解法.可見，如果借助差異分析策略來(lái)解決恒等式問(wèn)題，當(dāng)?shù)忍?hào)兩邊的目標(biāo)差明晰時(shí)，那么向著減少目標(biāo)差的方向逐步前進(jìn)，問(wèn)題即可獲解.

4 差異分析策略的應(yīng)用反思

通過(guò)對(duì)以上試題的探究可知，新高考的題目突出對(duì)基本概念、原理的考查，強(qiáng)調(diào)知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，注重本原性方法，淡化解題技巧，強(qiáng)調(diào)通性通法的綜合運(yùn)用.掌握必要的解題策略能有效促進(jìn)解題者將知識(shí)和方法內(nèi)化為自身的知識(shí)結(jié)構(gòu)，借助差異分析的解題策略，能更高效地解決一些三角恒等變換、恒等式或不等式的證明問(wèn)題.未來(lái)的考試中可能會(huì)出現(xiàn)更多的“證明問(wèn)題”，當(dāng)解題陷入困境時(shí)，可以嘗試運(yùn)用差異分析策略，從表象出發(fā)，尋求數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)聯(lián)系，借助這種聯(lián)系消除差異，將條件化為結(jié)論[5].需要注意的是，在應(yīng)用差異分析策略時(shí)，針對(duì)具體的問(wèn)題，需要不斷變換思維角度，全方位聯(lián)系已有知識(shí)，多角度思考問(wèn)題，才能更快形成“尋找差異、發(fā)現(xiàn)差異、消除差異”的解題方案[6]，更進(jìn)一步發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和關(guān)鍵能力.