探相似之用 尋教學之材*

孔雯晴

(華東師范大學教師教育學院 200062)

在初中的數學課程中，利用相似解決實際問題是培養學生數學應用意識的重要內容．北師大版和滬科版教科書設計了利用影長、標桿和鏡面測高的實踐活動，人教版教科書中包含影長測高、利用相似測河寬等問題．在已有的教學案例中，泰勒斯的故事已是老生常談，關于“相似三角形的應用”的教學設計缺乏具有新意的素材．有教師嘗試將數學史融入教學[1-3]，獲得了學生積極的反饋．因此，本文聚焦相似三角形的實際應用這一主題，考察歷史上的相關文獻和書籍(包括美國早期教科書)，以期為今天的教學提供更多的素材．

1 測量之術

早在古巴比倫時期，人們就已經知道了兩個相似三角形的對應邊成比例.事實上，古人是為了解決實際問題才研究幾何的，他們對于三角形的認識源自于實際測量的需要[4]．

1.1 用矩之道

我國測量學的歷史幾乎可以追溯到大禹治水時期，據《史記·夏本紀》記載，在那個工具落后的時代，大禹“左準繩，右規矩”，因勢利導，化堵為疏，其三過家門而不入的故事流傳至今．大禹所用之“矩”，形似現代的曲尺，它是如何在測量中發揮作用的呢？

圖1 用矩測高 圖2 用矩測深 圖3 用矩測遠

顯然，用矩測高需要滿足被測物體底部可達的條件.如果情況更復雜一些，有什么解決辦法呢？

1.2 重差術

圖4 重差術

在《周髀算經》中，陳子用南北兩地日影差求 太陽高度的方法就是重差術的雛形[6]，圖4中的點A代表太陽，BF和DG分別代表影長．我們知道，地球是一個球體而非平面，所以陳子測日高的方法實際上是沒有意義的．若是針對生活中一般的測量問題，地面的弧度可忽略不計，此時重差術是行之有效的[7]．

圖5 晷尺測高

于12世紀面世的《莉拉沃蒂》是古印度最具影響力的算術著作，書中“關于影之實用算法”一章詳細介紹了一系列由燈火而產生的表(標桿)影問題，主要與相似三角形相關[9]．光源和影長的題在現行的教科書中很常見，蘇科版教科書就以路燈下的影子為例引出中心投影．足以看出，今天的很多數學問題都可以在歷史上找到淵源．

2 20世紀西方早期教科書中的測量之用

20世紀初，在英國興起的培利運動和德國數學家F.克萊因領導的教育改革不謀而合，都倡導數學教育應該面向大眾，強調數學的實用性．在這些思想的引領下，美國和日本也掀起了數學教育改革之風[10]．彼時的教科書也受到這場數學教育改革浪潮的影響，增加了關于數學實際應用的內容．以美國早期的幾何教科書為例，相似三角形的實際應用涉及測量領域，除了與現行教科書一致的影長測高和鏡面測高等實例，一些簡易的測量工具也走進了幾何教科書，測量情境和工具的分類見圖6．為避免重復敘述，本文只介紹教科書中測量工具的原理及涉及的相似三角形，不具體展開計算步驟．

圖6

2.1 底部可達的高度測量

·影長測高

影長測高法源自希臘數學家泰勒斯，他通過影長測得金字塔高度，Mallory和Stone呈現了影長測高的實例(圖7)，該方法可歸納為：同一時間測量已知高度物體和待測物體的影長，通過相似比求得待測物體的高度[11]．

圖7 影長測高 圖8 標桿測高

·標桿測高

如圖8，Willis在介紹標桿測高法時列舉了兩種情況：一是測量員站著測量(左圖)，二是測量員躺著測量(右圖)．顯然，第二種僅適用于地面平坦的情況，需要構造直角三角形相似．而第一種則不受限制，當測量員望向被測物體的頂端和底端時，視線分別與標桿上的兩點重合，只需要構造一般三角形的相似即可[12]．

·鏡面測高

如圖9，Auerbach和Walsh利用鏡面反射測量高度，其中蘊含入射角和反射角相同(∠AMX=∠CMB)的物理原理．當地面平坦時，豎直站立的測量員AX望向點M處，恰能從鏡中看到被測物體BC的頂端C，證明Rt△AXM∽Rt△CBM．在鏡子被普及之前，一碗水銀、墨水或者糖漿的表面可以達到同樣的效果[13]．

圖9 鏡面測高

·鉸鏈式工具測高

Long和Brenke表示，泰勒斯用影長測高的方法只有陽光燦爛時才能起作用，若要在森林中進行測量便無法奏效，需要一種新的工具來突破這一局限．圖10展示了一種自制鉸鏈式工具，在帶凹槽的金屬條SR中有一根小金屬條可以自由滑動．當地面平坦時，如果要測樹高NL，先將QR豎直固定于地面，再將SR對準樹的頂端N，小金屬條順著凹槽滑至地面點P，顯然N,S,R,P四點在同一直線上，測量LP,PQ和RQ的長度，證明Rt△RPQ∽Rt△NPL[14]．

圖10 鉸鏈式工具測高 圖11 十字桿測高

·十字桿測高

Stone和Millis使用十字桿(cross-staff)測量物體AB的高度(圖11)，橫桿DE可順著直桿FG上下移動，使得D,F,B三點共線，測量DE,EF,CD和AC的長度，證明Rt△DEF∽Rt△DCB[15]．

·三角測高儀測高

如圖12，據Willis記載，三角測高儀又叫佛斯特曼測高儀(Faustmann’s Hypsometer)，護林員常常用它來測樹高．點D處有一根鉛垂線(左圖)，護林員從點A處透過DE上的小洞觀測到樹的頂端C點，此時鉛垂線與EE′相交于F點，讀出EF的長度，接著借助水準儀，由助手在樹上標記B點(AB與地面平行)并測量BG的長度，證明△DEF∽△ABC[12]．

圖12 三角測高儀測高

·四分儀測高

四分儀(geometric square)是一種帶有鉛垂線的幾何方形工具(圖13)．測量員將四分儀放置于地面，沿著上邊緣的兩個小孔望向被測物體的頂端N處(三點共線)，此時鉛垂線穿過刻度點C，讀出BC的長度，且AB長度已知．若地面平坦，則四邊形ADMP為矩形，測量AD或PM,AP或DM的長度，證明△APN∽△ABC[15]．

圖13 四分儀測高 圖14 兩次標桿測高

2.2 底部不可達的高度測量

·兩次標桿測高

2.3 兩點可達的距離測量

兩點可達是指兩個測量點均是可接近點，但其被障礙物隔開，測量員無法直接測量該兩點間的距離．

·構造相似測距

圖15 構造相似測距 (兩點可達)

2.4 一點可達的距離測量

一點可達是指只有一個測量點可接近，另一個測量點不可接近．

·構造相似測距

一點可達常以測量河寬為情境，若要測量岸邊一點A到對岸一點B之間的距離，可以構造一對相似三角形．如圖16(左)，在岸邊作AD⊥AB和AD⊥DE，此時BE與AD交于點C，證明Rt△ABC∽Rt△DEC，測量AC,ED和CD的長度，通過對應線段成比例即可求出AB的距離．也可以構造一般的相似三角形見圖16(右)，在AB間取一點D，任意在岸邊作一條線段DE，再過點A作AC∥DE，使得C,E,B在同一直線上，取AF=DE，易證四邊形AFED是平行四邊形，則由平行可知△CFE∽△CAB，測量CF,EF,CA的長度，同理可求AB的距離[13]．

圖16 構造相似測距(一點可達)

·矩尺桿測距

矩尺桿是由木桿AC和矩尺ECD組成的測量工具(圖17)，其中∠ECD=90°，測量員將CD端指向點B處，此時CE端指向地面的點F處，測量FA和AC的長度，證明△CAF∽△BAC，即可求出AB的長度[15]．

圖17 矩尺桿測距 圖18 十字桿測距

·十字桿測距

用十字桿測距的原理與用其測高的原理一致，如圖18，將橫桿DE順著直桿AC上下移動，使得C,D,B在同一直線上，測量CE,AC,DE的長度，證明△CED∽△CAB[15]．

·四分儀測距

與十字桿一樣，四分儀也可用于距離的測量 (圖19)．若要測量PQ的距離，與測高的原理相同，只要測量AB,BC和AP的長度，再證明△QPA∽△ABC[15]．

圖19 四分儀測距 圖20 鼓面測距

·鼓面測距

如圖20，若要測量地面上AB的距離，Stone和Millis將鼓面(drum heads)放置于地面上的點B處，從鼓面上點b沿BA方向作一條方向線ba(點b與點B在同一垂線上)，在地面上選取一點C，再沿BC方向作線段bc，將鼓面沿BC方向移至點C處(點c與點C在同一垂線上)，從鼓面上的點c沿CA方向作直線，交方向線ba于點a．測量BC,bc,ba的長度，證明△abc∽△ABC[15]．

·平板儀測距

平板儀(plane-table)一般用于制作地圖時定位和查找距離，其由圖板和三角架組成，見圖21(左)，圖板上有一把直尺，在直尺的首、末端各有一個觀測點S和S′，通常會在上面放望遠鏡．例如，要測量PQ的距離，見圖21(右)，首先在地面和圖板上過點P作一條基線MN，將直尺的S端與點P重合，旋轉直尺使得S，S′和Q三點共線，從點P沿尺畫條方向線．再將平板儀從T處沿MN平移至T′處，則點P對應移動到點P′處，接著將直尺S端放在P′N上任意點K處，旋轉直尺使得S，S′和Q三點共線，此時SS′交方向線于點L，構造出△P′KL，測量PK,P′K,P′L，證明△P′KL∽△PKQ．平板儀與鼓面的測距方法相同，前者的操作更加便捷[17]．

圖21 平板儀測距(一點可達)

·等角縮小測距

如圖22，若要測量AB的距離，選取長度可測的AC為基線，測量∠ACB和∠CAB的大小，接著在紙上作一線段A1C1(AC是A1C1的n倍)，再作∠ACB=∠A1C1B1和∠CAB=∠C1A1B1，顯然△ABC∽△A1B1C1，則AB=nA1B1．這種等角縮小測距法主要用于軍事[18]．

圖22 等角縮小測距 圖23 目測距離法

·目測距離法

在軍事領域，目測距離法更加便捷，但測量誤差較大.如圖23，首先，觀測者伸直手臂并伸出一根手指，閉上左眼，觀察到指尖與物體A重合．接著睜開左眼、閉上右眼，觀察到物體移至點B處，AB是交換眼睛后物體移動的距離，已知臂長約為眼間距的10倍，通過相似三角形對應邊成比例的原理，可以估測AO間的距離，進而計算AC間的距離．例如一艘戰艦長度為172 m，用上述方法在海上觀察時，發現戰艦似乎移動了四條船的長度，則距離約為172×4×10=6 880 m[15]．

2.5 兩點不可達的距離測量

兩點不可達是指兩個測量點均不可接近．

圖24 平板儀測距(兩點不可達)

3 結論與啟示

在三角學出現以前，相似三角形在早期的測量領域中具有非常重要的應用價值，解決了很多生活中的問題.相似三角形應用的歷史為今天的課堂教學提供了許多啟示．

(1)基于同一情境設計不同層次的問題，構建問題串

若以大禹治水為背景，參照圖6將測高問題由底部可達變成底部不可達，將測距問題由兩點可達到一點可達，再變成兩點不可達，問題難度層層遞進.假如學生是大禹，他將會如何解決這些測量問題呢？再將學生的解決方案進行古今對照，與古人跨時空對話，增強他們學習數學的信心．

(2)開展綜合實踐活動，培養學生的創造力

《義務教育數學課程標準(2022年版)》(下稱《標準》)強調了要進一步加強綜合與實踐領域的教學活動，以真實問題為載體，培養學生的創新意識和實踐能力等綜合品質[19]87．雖然早期科技并不發達，但也出現了一些凝聚智慧的測量工具，這些工具體現了測量員們的創新精神．若以測量校園內某一物體的高度為實踐活動，要求學生自主設計測高或測距工具進行測量，他們會想到哪些方法？又會制作出怎樣的測量工具呢？答案是令人期待的．學生在解決問題的過程中獲得數學活動經驗，感悟數學的價值，進而對數學產生好奇心和求知欲．

(3)依托信息技術，創新教學方式

歷史上關于相似三角形應用的素材非常豐富，然而課堂的時間十分有限，若將其都編成數學問題則不現實，若是以大段文字材料的形式呈現又顯乏味．教師可以把相關素材制作成一個微視頻，通過一個主題，講好一段故事，展現數學人文的一面，讓學生體會到數學源于生活又應用于生活，從而建立良好的數學觀，激發學習數學的興趣．

(4)融傳統文化于課堂，實現德育之效

《標準》提倡在數學課程中弘揚中華優秀傳統文化[19]2，教師可以發揮《周髀算經》、重差術等優秀傳統文化的育人功能，幫助學生了解和領悟中華民族獨特的數學智慧，增強文化自信和民族自豪感．