一道2022年希望聯盟夏令營試題的解法探究與推廣

汪國平

(安徽省樅陽中學 246700)

2022年中國數學奧林匹克希望聯盟夏令營試題(一)第7題為：

已知△ABC為銳角三角形，A,B,C為其三個內角，則2cotA+3cotB+4cotC的最小值為．

這道試題考查解三角形，所給條件簡潔，內涵豐富，試題難度適中，考查學生的邏輯推理、數學運算等核心素養．試題的解法較多，關鍵在于合理的推理轉化，下面先從不同角度給出該題的解法探究，最后探討得到一般性的結論．

1 解法探究

命題組提供的參考答案技巧性太強，不適合臨場考試.下面筆者基于學生的視角對解法進行探究，整理成文，與讀者探討．

視角1 立足恒等式cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1．

評注上述三種方法本質上沒有太大差異，只是最后表現形式不同而已.解法1、解法2在恒等式的基礎上進行代數換元、三角換元，構造均值不等式、輔助角公式；解法3在前兩種解法的基礎上進行了優化，大大簡化了計算量．

①若△ABC為銳角或直角三角形，顯然成立；

②若△ABC為鈍角三角形，此時只需證明z<0的情況即可．

評注上述兩種解法構造方程，利用Δ≥0．

視角2 立足于恒等式tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC(*)．

評注解法6是一種倍值換元法，實現消元，轉化為函數問題．

視角3 立足基礎，實現計算．

評注解法7采用解三角形中最基本的方法：利用正弦定理、余弦定理化簡所求表達式，結合輔助角公式求出最小值．

視角4 幾何視角(作高)．

圖1

評注解法8化任意三角形為直角三角形，轉化為以m為主元的二次函數，結合均值不等式求得最小值．

2 試題推廣

一道題是不變的，方法多樣，在探究其解法之后，更要嘗試對其進行推廣．