借助數形結合 呈現數學本質

李沖明

數學是研究幾何圖形（幾何）與數量關系（代數）的學科，教學中要借助圖形、表格的描述，分析現實世界中存在的規律和現象，解決現實世界中的數學問題，學會從數學的視角觀察、想象、思考，探究解決問題的策略，明確思考的路徑，把握數學的本質。

一、“數”中覓形，代數知識幾何化

“數”是指數學當中的數、符號、數量與數量關系等，它顯得抽象、枯燥、理性、乏味;“形”是指數學當中的圖形、線段、表格、數軸等，它顯得形象、直觀、感性、有趣。

如，在教學“乘法分配律”一課時，可設計學生經歷過的真實生活情境，學校的運動場長75米，寬25米，現在學校擴大辦學規模，在寬不動的基礎上，長增加25米，擴建后的運動場面積是多少？學生基本上存在兩種方法：（75+25）×25和75×25+25×25，我們要結合幾何圖形來理解題意（如圖1所示），每一步表示什么意義，分別是圖形中的哪個部分，從而得出：（75+25）×25=75×25+25×25乘法分配律的雛形，通過幾何圖形理解概念和規律，加深印象，將代數的知識借用幾何圖形來理解算理，為接下來的進一步理解和研究乘法分配律的知識做好必要的鋪墊。

再如，在五年級課本中有一道拓展練習題：（a+b）2=a2+

b2+2ab，涉及初中的知識二元二次方程，學生利用代數知識理解相當吃力，甚至連題意都看不懂，也為老師從學生現有的知識水平上去分析和講解造成了困擾，如果我們能借助幾何圖形（如圖2所示），就是兩個交錯的大小不同的正方形面積加上兩個兩側一樣的長方形面積，數學問題的解決就變得簡單明了，直觀易懂了。

二、形中探“數”，幾何知識代數化

“沒有什么東西比幾何圖形更容易印入腦際。”（笛卡爾語）數學教學追求數學知識圖形化，也就是教學中要從特殊圖形的探究中，將圖表語言轉化為數學的符號語言，推導出數學的一般性規律和通俗的結論，又可以運用所學到的數學規律和方法去解決生活中的數學問題。

如，教學“三角形的內角和”一課時，教師先從法國科學家帕斯卡的故事說起，12歲時帕斯卡問父親：“什么是幾何？”父親輕描淡寫地回答說：“幾何就是教人在畫圖時能作出美觀又正確的圖。”于是帕斯卡就拿起粉筆在地上畫起各種不同形狀三角形的圖形來。畫著畫著，帕斯卡受到啟發，突然發現任何一個三角形的內角和都是180°。這節課，大家也將用自己的智慧，重走帕斯卡發現三角形內角和規律的道路，重新驗證帕斯卡的結論，你們都有潛力成為帕斯卡一樣的數學家。用故事調動學生學習興趣，為學生樹立了榜樣，而且還教給了學生學習數學的方法，就是善于利用圖形解決現實世界中的問題。這樣的設計，學生就會產生研究的欲望，想去探索三角形內角和的數學奧秘。紙上得來終覺淺，絕知此事須躬行。接著我們引導學生動手量、撕、折、畫、拼等不同的方法總結出形狀不同的三角形內角和都是∠1+∠2+∠3=180°的結論。一切知識都是從感官開始的（夸美紐斯語），用多種感官參與到知識的認知、體檢和感悟中，在研究直觀的圖形中得到數學結論，從形象走向抽象，從有趣走向理性，從看得見、摸得著的形象形體中抽象數學的知識和規律。最后教師不只滿足于結論的得出，還因勢利導地引導學生用學到的規律去發現更有奧妙的多邊形內角和的方法。根據三角形的內角和的結論再利用，求四邊形、五邊形、六邊形……n邊形的內角和。通過圖形添加輔助線，表格匯總，有助于觀察總結結論，進一步升華了數學的規律，數學結論從特殊走向一般，培養學生數學的推理意識，去解決現實世界中的數學問題。（如圖3所示）

數學教學中形中探數的例子比比皆是，在方格紙上畫幾何圖形，在數軸中理解正負數的大小，利用集合圖理解容斥問題，運用坐標圖理解正反比例……，這些都是解決這類數學問題的靈丹妙藥，只要學生能想到會用圖表的策略，基本都能實現對癥下藥，實現藥到病除的功效。

三、數形結合，數學知識模型化

數與形是數學的手和腳，是小學階段非常重要的數學思想，撇開形與數進行學數學那是無源之水，無根之木，數學的道路很難走得遠、走得久。它們是相輔相成、互相成就的。既要重視數形結合的幾何因素——直觀，更要重視數形結合思想——類比。

如，在教學五年級“分數加減混合計算”一課時，師出示喝牛奶問題：一杯純牛奶，樂樂喝了一半后，覺得涼，就兌滿熱水。他又喝了一半，就出去玩了。樂樂一共喝了幾杯純牛奶？幾杯水？

只要會讀題，題中第一次喝了多少，地球人都知道，加滿水也沒問題，第二次在加滿熱水后，學生的思維就開始混亂了，牛奶與水混合在一起了，怎么區分哪里是熱水哪里是牛奶，學生繞糊涂了，再加上要解決“杯的是多少”涉及六年級的分數乘法問題，學生還沒學習呢。所以要突破這個難點就要借助圖示來理解題意（如圖4所示），通過畫圖，借助幾何直觀，用數形結合的方法，把水和奶完全隔離開來思考，結合直觀圖，理清題意，通過理解、觀察、分析第二次喝了杯的一半是杯，加上第一次喝的杯就是牛奶喝了杯，水就喝了杯。

教學中還要引導學生用逆向思維進行反思和回顧，把喝的與沒喝的牛奶加起來就能知道是不是一杯。

總之，數學知識的學習是永遠無法繞開形與數進行研究的，它是數學學習中必不可少的基本元素，還是溝通代數與幾何的重要橋梁，串聯生活與數學的紐帶，在代數知識的學習中，只要與形扯得上關系，就要發揮圖形的作用，在幾何圖形的研究上，只要與數沾得上邊，就要借助數來釋義，當然兩者結合互相轉化，威力更不容小覷！正如華羅庚所說：“數缺形時少直觀，形少數時難入微，數形結合百般好，隔離分家萬事休！”