滲透數學猜想 提升思維品質

作者簡介：薛新龍（1987—），本科學歷，一級教師，從事小學數學教學工作。

[摘? 要] 為了更好地發展學生的數學思維，培養學生的創新意識和獨創能力，在小學數學教學中教師應注重學生數學猜想能力的培養。數學猜想不是憑空臆測，它的提出和驗證需要適宜的生長環境，需要教師日常教學中潛移默化地引導和滲透。

[關鍵詞] 數學思維;創新意識;數學猜想

數學猜想是發現數學規律、探究數學本質的常見策略。數學猜想是指根據已有的數學知識和數學經驗，對數學對象進行的觀察、分析、比較、歸納等活動，具有明顯的目的性、邏輯性、直覺性、或然性等特征，屬于推理的范疇。雖然數學猜想具有一定的主觀性，但是其以數學知識、經驗和思維方法為基礎，是一種合理猜想，而非“空想”。數學猜想是創新的生長點，是需要重點培養的一種數學能力。不過，在現實教學中，教學多是結果教學，重視學生邏輯推理能力的培養，卻忽視學生數學猜想能力的培養，從而影響了學生創新能力的發展。

數學猜想能力在數學中有何意義，在教學中如何培養呢？基于這兩個問題，筆者談了一些自己的想法，僅供參考。

一、數學猜想的現實意義

1. 有利于提升學生的專注力

在數學教學中，為了提升學生課堂參與度，激發學生的思維能力，大多數教師會設計一些具有針對性的問題，讓學生在問題的驅動下積極思考，主動參與。學生參與課堂活動大多是在教師的帶領下進行的，缺乏主動意識，因此，在教學中教師要在結果給出前讓學生去猜想。這樣，學生一旦有了自己的猜想，就會把自己與問題主動地聯系在一起。為了證明自己的猜想，學生會主動地調動已有認知和已有經驗進行驗證，即使學生可能并未得到最終的結果，但是通過猜想的過程，學生會更加關注于問題的結果，這樣學生的聽課注意力自然有所提升，學生參與的熱情自然會被激發。

2. 有助于孕育數學創新意識

數學猜想是推動數學發展的動力，是數學學習中最活躍、最積極的因素，是培養學生創新意識的動力源。眾所周知，學習既是知識的一種繼承，更是知識的一種發展。在教學中教師應鼓勵學生大膽猜想，積極投入到相關的探究活動中去，尋找新思路、新規律，發現新結論。不過，在現實教學中，部分教師片面地認為小學生受到認知能力和思維發展水平的限制，其所提出的猜想大多“天馬行空”，不具備合理性，沒有探究的意義。教師在教學中很少組織學生進行數學猜想，學生獲取知識主要依靠教師的灌輸，學生的自主學習能力和創新意識沒有得到很好的培養和發展。

創新是時代賦予教育的重要使命，創新意識應該是每個學生都具備的一種素養，因此在教學中教師應關注學生數學猜想能力的培養，通過猜想、驗證等活動豐富學生認知結構，積累活動經驗，促進學習能力提升。

3. 有助于激發思維活力

數學猜想是一種預測和假想，是一種直覺思維，它為學生提供了一個更為廣闊的空間。學生可以結合自己的數學經驗提出自己的想法，有效地降低思維壓力和心理負擔，激發思維活力。

雖然受數學經驗和知識儲備的限制，小學生在進行數學猜想時可能距離客觀實際比較遙遠，但是只要教師在教學中不斷地引導和滲透，就能有效培養學生的思維品質，增強學生推理能力，促進學生綜合能力提升。

二、數學猜想能力培養策略

在小學數學教學中有許多適宜學生猜想的內容和教學契機，只是在教學中教師過多地關注了結果，錯失了誘發學生進行數學猜想的契機，限制了學生發展，因此在教學中教師應采用一些行之有效的方法來提升小學生的數學猜想能力。

1. 重視提出猜想的訓練

數學猜想應是基于學生已有經驗和數學知識的基礎之上的，它不是漫無目的的遐想，而是具有目的性和合理性的推測和直覺判斷。為了提升猜想的合理性，教師應在日常訓練中加以引導，首先，要讓學生明晰猜想的價值;其次，要讓學生知道什么樣的猜想才是有效的、合理的;最后，讓學生掌握一些猜想的方法和策略。對于小學生來講，可以從以下幾方面來訓練他們的猜想方法。

（1）借助歸納提出猜想

數學具有一定的規律性，教師在培養學生猜想能力時可以借助一些富有規律性的內容進行誘發，讓學生在歸納總結時提出自己的猜想。

例1? 觀察表1，說一說你有什么發現？猜想一下第6行第6列的數是幾呢？

例1具有明顯的規律性，符合學生的認識水平。問題中要求學生求出第6行第6列的數時，其實質就是引導學生觀察同行同列交點上數的特點，通過觀察容易發現第1行第1列的數為1，第2行第2列的數為3，第3行第3列的數為5，觀察至此規律已經呈現，因此學生不僅可以推理出第6行第6列的數為11，而且能夠提出同行同列交點上的數為“連續奇數”的猜想。

（2）借助類比提出猜想

類比是數學的重要思想方法，是開拓和創新的重要手段，在培養學生數學猜想能力時自然需要借助類比。數學知識間存在著一定的邏輯性和關聯性，通過對相似或相關內容的類比，可以讓學生在原有認知的基礎上獲得新的發展和新的提升。同時通過類比，更易于讓學生發現問題的本質特征，從而實現認知的深化和思維的提升。

例2? 根據12=3×4，1122=33×34，111222=333×334，猜想11112222=（? ）×（? ），1111122222=（? ）×（? ）。

從練習反饋來看，大多學生都能夠輕松地推理出答案，可見借助相似的屬性來引導學生進行猜想，更易于學生理解和接受。

（3）通過聯想提出猜想

聯想是溝通已知與未知的紐帶，在日常教學中教師可以通過改變條件或改變結論來誘發學生進行聯想，從而通過聯想猜測新思路和新結論。在學習中進行有效的聯想有助于學生舊知的鞏固和新知的內化，有助于認知結構的完善與發展，有助于推動數學的發展。

例3? 探究“植樹問題”

植樹問題是小學階段的一個重點專題，通過改變“路型”（線形路、環形路）和“植樹方式”（兩端都栽、只栽一端、兩端不栽），讓學生在解決問題后自發地提出新問題，通過對新問題的探究逐漸發現數學規律，提出猜想。

2. 關注猜想的驗證訓練

在數學教學中教師通過專項訓練引導學生積極思考，大膽提出猜想，從而有效地激發了學生的創新意識，激活了學生的數學思維，使數學課堂呈現出新氣象。不過，數學猜想具有一定的主觀性，若想知道猜想是否合理，是否有價值，需要進行驗證。若數學猜想中缺失驗證的過程，那么數學猜想將失去其本身的價值。當然，小學生的邏輯思維能力有限，因此在驗證時并不能進行抽象的演繹推理證明，學生的驗證過程大多以具體實例為主，通過大量的具有“說服力”的實例或者反例來驗證猜想的準確性和合理性。只有將猜想和驗證有效地結合才一起，才能使猜想更有價值，更有說服力。

3. 重視課堂中猜想的滲透

猜想并不是憑空推測，它需要一個合理的生發點，那么教師在日常教學中如何創設猜想的生發點呢？

（1）在新舊知識銜接處尋找猜想的生發點

數學概念、思想、方法之間往往存在著一定的關聯性，因此在教學中教師若能從知識點間的內在聯系出發，則易于觸發猜想的思維觸點。課前教師應認真研讀教材，挖掘出知識點間的內在聯系，從而為學生提供關聯性的教學材料;同時，教師要認真了解學生的具體學情，從而創設出既富有挑戰性，又符合學生最近發展區的問題情境，引導學生積極思考、認真觀察，通過類比、聯想等實踐活動提出猜想。

例4? 整數乘法定理的推廣

師：整數乘法運算定律大家還記得嗎？

生（齊聲答）：記得。

師：很好，誰來說一說？（教師指定學生回答并板書）

生1：a×b=b×a，a×b×c=a×（b×c），a×（b+c）=a×b+a×c。

師：大家看看是否正確呢？（通過判斷對錯喚醒經驗）

生（齊聲答）：正確。

師：很好，這些字母代表什么數呢？

生（齊聲答）：整數。

師：難道這里的字母只能是整數嗎？

這樣借助回顧舊知巧妙地創設問題，自然可以引發學生對小數、分數乘法定律的猜想，由整數到小數也就水到渠成了。

（2）在概念的來源處尋找猜想的生發點

在小學數學概念教學中，部分教師很少關注概念的本源，只是從文字上去引導學生認識概念、理解概念、應用概念。其實在概念抽象前，可以設計一些聯系生活實際的實踐活動來誘發學生猜想，從而拉近學生與抽象概念間的距離，便于學生更好地理解和應用概念。

例5? 面積單位

師：剛剛我們認識了面積單位：1平方厘米。如果用這個面積單位測量書桌的面積，你會測嗎？

生1：應該可以測量，就是這個應該要測很久吧，1平方厘米太小了。

師：這確實是一個問題，那該怎么辦呢？

生2：有沒有大一點的面積單位呢？

師：真是一個好問題，如果讓你來給出一個大一點的面積單位，你想用什么？如何給它定義呢？

認識“1平方厘米”這個面積單位后，教師引入具體實例讓學生應用概念，由單位不符引發了應用的不適，由此學生迫不及待地想引入新的面積單位，繼而引發學生對新的面積單位的猜想。這樣，學生結合已有經驗在原來面積單位的基礎上自然會聯想到“平方分米”和“平方米”。其實大多數新知都來源于舊知，因為存在“不適合”“不夠用”等情況而引入新知識，以此作為舊知的延續和補充，能便于人們更好地應用數學去解決實際問題。

（3）在知識的深化過程中尋找猜想的生發點

在日常學習中，因學生對知識的理解不夠深入或受思維定式等情況的影響，在猜想時容易受主觀因素的影響思考不周而引發錯誤，因此在日常練習中，教師可以在思維定式處進行誘發，從而使學生對知識的理解更加全面、深刻。

例6? 立方體圖形的復習

師：現在請大家根據描述“畫一畫”，看看你能畫出什么圖形呢？（學生聽說要根據描述畫圖，都興致勃勃）

師：這個立方體圖形有6個面，12條棱，8個頂點，且只有兩個相對的面是正方形。（教師預留時間讓學生獨立“畫一畫”）

生1：是長方體。

師：還有其他答案嗎？（生搖頭）

師：觀察圖1，它是否滿足呢？（教師用PPT展示圖1，讓學生對照陳述觀察）

生（齊聲答）：滿足。

師：如果想讓圖形為唯一的答案“長方體”，你認為描述上還需要加上哪些條件呢？

在教學過程中，教師讓學生根據描述進行猜想，因受思維定式的影響，大多數學生根據“只有兩個相對的面是正方形”這一條件排除了正方體后，就判斷為長方體，從而掉入了教師預設的陷阱。接下來教師讓學生對原猜想進行補充，從而在深化理解的基礎上，培養了思維的縝密性。

（4）在思路突破處誘發學生猜想

在課堂教學中，教師應有意識地引導學生進行多角度分析，充分發揮思維差異的優勢，通過合作交流誘發學生積極猜想。

例7? 一個圓柱的高是20厘米，____________，求圓柱的側面積？

師：接下來我會添加一個條件，使圓柱的表面積可求，你猜我會加一個什么條件呢？

生1：加一個直徑。

師：哦，如果加一個直徑，接下來如何求側面積呢？（生敘述了求解過程）

師：不過我加的不是直徑，請大家繼續猜一猜，看看誰是那個和我心有靈犀的人呢？

接下來，有的學生猜的是半徑，有的學生猜的是周長，還有的學生猜的是底面積，教師讓學生分別給出了解題過程。

師：大家都說得不錯，不過和我的條件都不同，我的條件里沒有數字。（生沉思）

生2：哦，我知道了，底面周長等于圓柱的高。

師：你真棒。

這樣，通過一個開放性的問題誘發學生進行多角度聯想，再通過不同條件的添加將求圓柱表面積的相關知識聯系在一起，能有效地激發學生的思維活力。

其實數學猜想并不是那么高深莫測，它就在日常的課堂教學中，教師不需要刻意去創設復雜的問題情境，但是問題情境也不能缺少其思考價值，其應具有明確的目標性，讓學生的認知結構在經歷失衡的過程中發現新的支點，從而突破認知的難點，達到認知的平衡。

總之，在實踐教學中，教師應多為學生創設一些適合的問題情境，進而為猜想的提出提供一個良好的契機，讓學生提出更多、更有價值的猜想。不過，值得注意的是，在教學中教師過多地強調提出合理的猜想，合理固然重要，但沒有通過推理和驗證，誰又會知道猜想是否合理呢？教師只有為學生營造一個更為廣闊的、寬松的思考空間，才能讓學生少一點顧忌和束縛，根據自己所思、所想提出個人獨特的見解，從而使課堂呈現無限生機。