相互轉化證明對稱與輪換對稱不等式

山東省鄒平雙語學校(256200) 姜坤崇

我們知道,對于一個不等式,如果任意交換其中的兩個變元所得的不等式與原不等式相同,則稱此不等式關于所有變元是對稱的不等式(簡稱對稱不等式).如果一個不等式中的所有變元按某種次序輪換后得到的不等式與原不等式相同,則稱此不等式關于所有變元為輪換對稱的不等式(簡稱輪換對稱不等式).對稱不等式一定是輪換對稱不等式,反之不然.證明對稱不等式可以轉化為輪換對稱不等式進行,證明輪換對稱不等式也可以轉化為對稱不等式進行,這為對稱不等式和輪換對稱不等式的證明開辟了一條途徑.

一、將輪換對稱不等式轉化為對稱不等式進行證明

對于某些輪換對稱不等式,可以轉換為對稱不等式進行證明.

例1(2002 年巴爾干數學奧林匹克試題,文獻[1]例1)若a,b,c均為正數,求證:

分析這是一個關于a,b,c的輪換對稱不等式,但不是關于a,b,c的對稱不等式,不能直接使用排序不等式證明,但我們可將其轉化為證明一個關于a,b,c的對稱不等式.

證明先證明一個對稱不等式:

由(1),(2)式即得所證不等式.

說明(i)以上證明的可貴之處是得到了一不等式鏈:設a,b,c ＞0,求證:

由(3),(4)式即得所證不等式.

說明(i)由以上證明可得不等式鏈:設a,b,c ＞0,求證:

于是由(5),(6)式可知要證的不等式成立.

說明(i) 由以上證明可得不等式鏈:設a,b,c ＞0,且abc=1,求證:

綜合(9),(10),所證不等式得證.

下面的三例,則是通過代換,將輪換對稱不等式等價轉化為對稱不等式進行證明.

說明(i)例7 中,若令x+y=b,y+z=c,z+x=a或x+y=c,y+z=a,z+x=b,則同樣可將所證不等式化為(11)式.

(ii)類似的可證明:設x,y,z ＞0,求證:于是,不等式(18)是不等式(19)的加權推廣.

(iii)仿不等式(13)可證如下兩個變式(證明從略):

二、將對稱不等式轉化為輪換對稱不等式進行證明

對于某些對稱不等式,也可以轉化為輪換對稱不等式進行證明.

例10(2005 年羅馬尼亞數學奧林匹克試題) 已知a,b,c ＞0,證明:

分析這是一個關于a,b,c的對稱不等式,其證明方法很多,這里我們利用排序不等式轉化(分拆)為證明兩個輪換對稱不等式(以下的(20)式與(21)式),然后相加即可獲證.