一道測(cè)試題的解法剖析

浙江省寧波市第四中學(xué)(315016) 董亞

一、試題呈現(xiàn)

題目(廣東省2022 屆高三數(shù)學(xué)綜合能力測(cè)試(二))已知函數(shù)f(x)=4x3+ax+b,當(dāng)x ∈[-1,1]時(shí),|f(x)|≤1 恒成立,則a+b=____.

這是以初等函數(shù)為載體,通過數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)思想來解決最值、單調(diào)性、不等式恒成立問題,試題以三次函數(shù)形式出現(xiàn),新穎獨(dú)特,有著深刻的數(shù)學(xué)背景,本文將全方位對(duì)這個(gè)問題進(jìn)行剖析.

二、解法剖析

1.特值探求法

由當(dāng)x ∈[-1,1]時(shí),|f(x)|≤1 恒成立,得:

2.圖象探求法

作出函數(shù)g(x)=-4x3+1 的圖象,與直線x=1交于點(diǎn)A(1,-3),過點(diǎn)A作函數(shù)y=g(x) 圖象的切線 (如圖1),其方程為y=-3x.由于h(x)=-4x3-1 與g(x)=-4x3+1 的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,故直線y=-3x.也過點(diǎn)(-1,3),且與函數(shù)y=g(x) 圖象相切,故當(dāng)a=-3,b=0 時(shí),恒成立,即a+b=-3.

圖1

3.最值探求法

4.模型探求法

令x=cosα ∈[-1,1],聯(lián)系三倍角的余弦公式cos 3α=4cos3α-3 cosα.故f(x)=4cos3α-3 cosα+(a+3)cosα+b=cos 3α+(a+3)cosα+b,注意到|cos 3α|≤1恒成立,只須(a+3)cosα+b恒為零,即a=-3,b=0.所以a+b=-3.

評(píng)析這類題就是大家熟知的切比雪夫的最佳逼近問題,在以往試題中多是以二次函數(shù)形式出現(xiàn),對(duì)于三次函數(shù)來說,還可借用三角函數(shù)模型:cos 3α=4cos3α-3 cosα,sin 3α=3 sinα-4sin3α.

三、相關(guān)問題

例1(2008 年高考江蘇卷)f(x)=ax3-3x+1 對(duì)于x ∈[-1,1]時(shí),總有f(x)≥0 成立,求實(shí)數(shù)a的值.

三、相關(guān)結(jié)論

定理設(shè)實(shí)系數(shù)三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d,當(dāng)x ∈[-1,1]時(shí),|f(x)|≤1 恒成立,則|a|+|b|+|c|+|d|≤7.

證明由于|f(±x)|≤1,不妨設(shè)a ＞0,b≥0.