全概率公式在復雜事件概率計算中的應用

廣東省河源高級中學(517000) 李佳炎 張玉婷

全概率公式是概率論中最基本且最重要的公式之一,它能幫助我們從簡單已知事件的概率推出復雜事件的概率.“全概率公式”已經成為2019 版普通高中教科書數學選擇性必修第三冊的重要內容,可以預見,未來在高考、強基競賽等試題中將常看到全概率公式的身影,因此如何應用全概率公式變得非常重要.

完備事件組[1]設A1,A2,···,An為n個事件,若滿足:

(1)完全性:A1∪A2∪···∪An=Ω;

(2)互不相容性:AiAj=?,i/j,i,j=1,2,···,n;

(3)P(Ai)＞0,i=1,2,···,n,

則稱A1,A2,···,An為Ω 的一個完備事件組.

全概率公式[1]如果事件A1,A2,···,An是樣本空間Ω一個完備事件組,則對任意事件B,有

利用全概率公式計算復雜事件的概率,關鍵在于找到適當的完備事件組對樣本空間進行分割,這里的“適當”指在完備事件組下該事件的條件概率能夠較為容易地求出.下面本文總結三種常用的完備事件組的類型.

類型一:以“前n-1 次試驗結果”構成的事件列作為完備事件組

例1從有a個紅球和b個藍球的袋子中,每次隨機摸出一個球,摸出的球不再放回,顯然,第一次摸出紅球的概率是那么第n(n≤a+b)次摸球摸到紅球的概率是多大?如何計算這個概率?

分析由于是不放回的摸球,每次摸球時,袋中的總球數和紅球數都會發生變化,這給概率計算帶來很大的麻煩.事實上,要計算第n次摸到紅球的概率,需要知道前n-1次摸球的結果如何,不妨考慮選擇“前n-1 次摸球中摸到紅球的個數”來分割樣本空間,設Ai={前n-1 次摸球中恰好摸到i個紅球},i=0,1,2,···,n-1,容易驗證這些事件可以構成一個完備事件組,并且利用古典概型,可以求出P(Ai)=,而對任意的i,在事件Ai發生的條件下,第n次摸球時,摸到紅球的概率也是可求的,等于于是可以利用全概率公式求出第n次摸球摸到紅球的概率.

評注巧合的是,不管是不放回摸球還是有放回摸球,在第n次摸球時,摸到紅球的概率是相等的,與摸球次數無關,只與袋中的紅球數與藍球數有關.而上述以“前n-1 次摸球結果”構成的完備事件組時,解法相對復雜,不妨換個角度思考.

既然第n次不放回摸球時,摸到的是紅球的概率只與袋中的紅球數與藍球數有關,假設第一次摸球摸到的是紅球,則此時袋中還剩a-1 個紅球和b個藍球,在這種條件下,第n次摸到的是紅球的概率,可以看成是從裝有a-1 個紅球和b個藍球的袋中,從頭開始不放回地摸球,第n-1 次摸到的是紅球的概率,其值為,同理若第一次摸球摸到的是藍球,則在該條件下,第n次摸球摸到的是紅球的概率是,由于例1 的結論與試驗次數n無關,我們不妨對其先猜想,然后利用數學歸納法反復歸納證明,證明過程中可以反復使用該結論來求上述條件概率.

類型二:以“第一次試驗結果”構成的事件列作為完備事件組

例2題目同例1.

例3(2018 年湖南省高中數學聯賽預賽B 卷)棋盤上標有第0,1,2,…,100 站,棋子開始時位于第0 站,棋手拋擲均勻硬幣走跳棋游戲.若擲出正面,棋子向前跳出一站;若擲出反面,棋子向前跳出兩站,直到跳到第99 站(勝利大本營)或第100 站(失敗大本營)時,游戲結束.設棋子跳到第n站的概率為pn.

評注根據例2 和例3 的分析,我們可以看到,當隨機試驗需要進行n次時,若已知第一次試驗結果的條件下,進行剩下n-1 次的試驗,某個與試驗相關的事件的概率,等于從頭開始試驗,試驗次數為n-1 次時該事件的概率,這時可以選擇以“第一次試驗的結果”構成的事件列作為完備事件組,利用全概率公式去計算該復雜事件的概率.

類型三:以“前一次試驗結果”構成的事件列作為完備事件組

例4設有n個袋子,每袋裝有a個紅球,b個藍球,從第一袋摸出一球放入第二袋,再從第二袋中摸出一球放入第三袋,以此類推,直至從第n袋中取出一球,求最后摸出的是紅球的概率.

分析在已知第一袋中摸到的是紅球放入第二袋的條件下,這時第二袋有a+1 個紅球和b個藍球,要求最后摸出的是紅球的概率并不等于從頭開始摸球放入下一袋,直至第n-1 袋取出的是紅球的概率,因為后者要求每一袋中的紅球數及藍球數都是一樣的,而前者并不符合,故不適合選擇“第一次試驗結果”構成的事件列作為完備事件組.

例5(2022 湖北省八市高三(3 月)聯考)2022 年5 月6日,中國女足在兩球落后的情況下,以3 比2 逆轉擊敗韓國女足,成功奪得亞洲杯冠軍,在之前的半決賽中,中國女足通過點球大戰6:5 驚險戰勝日本女足,其中門將朱鈺兩度撲出日本隊員的點球,表現神勇.

(1)撲點球的難度一般比較大,假設罰點球的球員會等可能地隨機選擇球門的左、中、右、三個方向射門,門將也會等可能地隨機選擇球門的左、中、右三個方向撲點球,而且門將即使方向判斷正確也有的可能性撲不到球,不考慮其他因素,在一次點球大戰中,求門將在前三次撲出點球的個數X的分布列和數學期望;

(2)好成績的取得離不開平時的努力訓練,甲、乙、丙、丁4 名女足隊員在某次傳接球的訓練中,球從甲腳下開始,等可能地隨機傳向另外3 人中的1 人,接球者接到球后再等可能地隨機傳向另外3 人中的1 人,如此不停地傳下去,假設傳出的球都能接住,記第n次傳球之前球在甲腳下的概率為pn,易知p1=1,p2=0,

①試證明{pn-}是等比數列;

②設第n次傳球之前球在乙腳下的概率為qn,比較p10和q10的大小.

分析(2)傳球具有這樣一個特點——若上一次傳球前,球在甲腳下,則下一次傳球前球必然不在甲腳下,而如果上一次傳球前,球不在甲腳下,則下一次傳球前,球在甲或者其他兩個人腳下的概率是相等的,均為,因此選擇“前一次試驗結果”構成的事件列作為完備事件組是很自然的想法.

例6(2020 年高考江蘇卷)甲口袋裝有2 個黑球和1 個白球,乙口袋裝有3 個白球,現從甲、乙口袋中各任取一個球交換放入另一個口袋,重復n次這樣的操作,記甲口袋中黑球的個數為Xn,恰有2 個黑球的概率為pn,恰有1 個黑球的概率為qn,

(1)求p1,q1和p2,q2;

(2)求2pn+qn與2pn-1+qn-1的遞推關系和Xn的數學期望E(Xn)(用n表示).

分析(2)每次交換球前都先要確定此時甲、乙兩袋的黑球數與白球數,因為不同的黑球數和白球數,會直接影響下一次交換球時,甲袋中黑球數為0,1,2 的概率,比如說在已知交換前甲袋中有2 個黑球和1 個白球,乙袋有3 個白球,則交換后甲袋黑球數為0 的概率是0,而甲袋中黑球為1 的概率是,這是因為這次交換是將甲袋中的黑球與乙袋中白球作交換,而在甲袋中摸到黑球的概率是,在乙袋中摸到白球的概率是1,同理可以得到交換后甲袋中黑球數為2 的概率是,根據同樣的分析,我們可以得到在交換前甲袋中的黑球數分別是0,1,2 的條件下,交換后甲袋中黑球數分別是0,1,2 的所有概率,于是,考慮選擇“前一次試驗結果”構成的事件列作為完備事件組,即選擇“交換前甲袋中黑球的個數”構成的事件列{Xn=0},{Xn=1},{Xn=2}來作為完備事件組,利用全概率公式建立起pn和qn的地推關系,從而解決問題.

解答(2) 由題設可知:Xn的可能取值為0,1,2,P(Xn=2)=pn,P(Xn=1)=qn,故P(Xn=0)=1-pn-qn,顯然,對任意n ∈N*,事件{Xn=0},{Xn=1},{Xn=2}均構成完備事件組,因而由全概率公式可得:

P(Xn=2|Xn-1=2)表示在第n次交換前,甲口袋已經有兩個黑球,而第n次交換后,仍然有兩個黑球,即只把甲口袋中的白球與乙口袋的白球交換,因此

P(Xn=2|Xn-1=1)表示在第n次交換前,甲口袋恰有1 個黑球,第n次交換后,甲口袋有兩個黑球,即甲口袋的白球與乙口袋的黑球交換,因此

P(Xn=1|Xn-1=2) 表示第n次交換前甲口袋有兩個黑球,第n次交換后僅剩1 個黑球,即把甲口袋的黑球與乙口袋的白球交換,因此

評注通過對上面三道例題的分析,可以看到,在已知上一次試驗結果的條件下,可以直接確定下一次試驗各種可能情況發生的概率時,可以選擇“前一次試驗結果”所構成的事件列作為完備事件組.

不妨對比例1 和例4,對于例1,若已知前一次摸球摸出的是紅球,我們只能知道袋中紅球數和總球數減一,至于紅球還剩多少并不能因此確定,還需要知道前面每一次摸球的結果,因此不宜選擇“前一次摸球的結果”所構成的事件列作為完備事件組;反觀例4,由于每次摸球只會影響球被摸出和球被放入的兩袋球的紅球數或藍球數,因此若已知在前一袋中摸球的結果,便可得到下一袋摸球中摸出的是紅球的概率,所以可以選擇“在前一袋中摸球結果”所構成的事件列來作為完備事件組.

同時我們還可以看到,每一次試驗中的某個事件發生概率可以看成一個數列,若是能得到這個事件在已知上一次試驗結果的條件下發生的概率,我們便可以利用全概率公式得到這個數列的遞推關系,進而求解出這個數列的通項公式.

總之,復雜事件的概率計算一直是概率統計中的一個重難點問題,其技巧性強,方法比較靈活,往往還都與試驗次數n有關,很難一一枚舉,學生難以掌握.通過本文的實例分析,不難發現,找準完備事件組,把事件的概率看作一個數列,利用全概率公式建立起遞推關系,結合數列遞推關系的求解方法和數學歸納法,能有效解決許多復雜事件的概率計算問題.