美國數學月刊12214 題引發的探究

華南師范大學數學科學院(510631) 葉秀錦

貴州省畢節市七星關區第五實驗學校(551700) 臧軍

1 問題背景

原題(《美國數學月刊》12214 題[1]) 設x,y,z是三角形ABC三條中線的長度,三角形ABC的面積為S′.證明:

2 預備知識

引理1設D,E,F是三角形ABC三邊BC,AC,AB的中點,三角形ABC的面積為S′,那么AD,BE,CF三邊的長度可以構成三角形,并且這個新三角形的面積為

證明如圖1 所示.連結AD,BE,CF,AD,BE,CF相交于I.延長FE到G,使得EG=FE,連結AG,CG.連結DG交AC于H.

圖1

引理2已知a,b,c都是正數,令p=a+b+c,q=ab+ac+bc,t=abc,那么有:(1)p2≥3q;(2)q2≥3pt;(3)pq≥9t;(4)p3≥27t;(5)p3-4pq+9t≥0.

3 等價問題與加強問題

由引理1,可知x,y,z三邊的長度可構成一面積為S的三角形,S=不難將原問題轉化為如下的等價命題:

4 命題2 的兩種證明

評注方法一通過代換轉化為三元對稱不等式問題,從而可以用上許多證明三元對稱不等式的手段,是一種證明對稱三角不等式的通法,易于證明比較強的結果,但對于證明一些比較弱的結果會顯得比較復雜.方法二由于Gerretsen不等式的局限性,不適用于證明一些較強的結果,但對于證明一些比較弱的結果會顯得比較方便.