對兩道2021 年高中數學聯賽試題的再探究

廣東省佛山市樂從中學(528315) 林國紅

一、題目呈現

題目1(2021 年高中數學聯賽一試(A1 卷) 第11 題)如圖1 所示,在平面直角坐標系中,橢圓Γ :+y2=1的左右焦點分別為F1,F2,設P是第一象限內Γ 上一點,PF1,PF2的延長線分別交Γ 于點Q1,Q2,設r1,r2分別為ΔPF1Q2,ΔPF2Q1內切圓的半徑,求r1-r2的最大值.

題目2(2021 年高中數學聯賽一試(B1 卷)第11 題)如圖1 所示,在平面直角坐標系中,橢圓Γ :+y2=1的左右焦點分別為F1,F2,設P是第一象限內Γ 上一點,PF1,PF2的延長線分別交Γ 于點Q1(x1,y1),Q2(x2,y2),求y1-y2的最大值.

圖1

二、試題另解

文[1]對題目1 進行探究,給出了三種解法,下面筆者再給出題目1 的三種不同解法.

評注本解法是利用橢圓的參數方程求解,利用三角關系更易求得最值,代數變形也更為簡單.

評注本解法根據P,F1,Q1及P,F2,Q2三點共線,利用向量的線性運算將點Q1(x1,y1),Q2(x2,y2)的坐標轉化為用點P(x0,y0)的坐標表示,思路新穎,方法直觀,簡潔高效,突顯數學知識之間的轉化.

解法3(平面幾何角度) 易知F1(-1,0),F2(1,0).設P(x0,y0),Q1(x1,y1),Q2(x2,y2),由條件可知x0＞0,y0＞0,y1＜0,y2＜0.

圖2

評注本解法利用平面幾何性質,結合橢圓的焦半徑公式求解,簡化了推理和運算過程,具有直觀、簡捷的特點.解析幾何問題本質是幾何問題,如果能挖掘出題目里面蘊含的平面幾何元素,充分利用平面幾何知識,往往可以避開繁瑣的代數運算,使解決問題的過程得到簡化.因此對于解析幾何問題,應將解析法與平面幾何方法相結合,從而得到解決問題的最優解法.另外在競賽層面,要重視方法的積累和知識的儲備,熟練掌握一些有用的結論,才有可能縮短思維的長度,提高效率,達到事半功倍的效果.

三、試題的推廣

文[1]對題目1 進行推廣,得到結論1:

四、試題的再探究

由競賽題的解法及推廣,可知題目1 是題目2 的深化,求r1-r2的最大值實際上是求y1-y2的最大值.注意到競賽題中F1,F2為橢圓的左右焦點,其關于原點對稱,若在x軸上取其它關于原點對稱的兩點,y1-y2是否有最大值?

經進一步探究,可得到結論3: