數學建模核心素養的高考測評及教學培養

胡一超 王雅妍 陸吉健

［摘? 要］ 在現如今高中數學教育的新形勢下，新課標高考數學試題更多的意圖是培養高中生抽象概括、提出和解決問題的能力. 因此研究者從近五年高考數學試題出發，基于數學建模核心素養，淺析近五年全國數學高考試題對于題型和分值結構的調整、考點范圍和掌握程度的變化以及學生建模思維能力的要求等幾方面進行議論分析. 通過對全國數學高考試卷（理科）Ⅰ卷5套試卷中的典型例題的研究分析，感受數學建模核心素養在試題中的具體體現，并對數學教學培養提出了建議.

［關鍵詞］ 數學建模；核心素養；高考測評；教學培養；典型試題

研究背景

《普通高中數學課程標準（2017年版）》首次提出了數學六大核心素養，即數學抽象、邏輯推理、直觀想象、數學建模、數學運算和數據分析. 其中數學建模作為六大核心素養之一，在我國高中數學的教學中發揮著十分重要的指導價值和現實意義，其不僅在高中階段對試題的解決有重要作用，而且為學生日后對于數學更深層次的研究和日常問題的解決具有一定的意義［1］. 所以本文從數學建模核心素養出發，以近五年全國高考數學試題為例進行針對性的測評研究.

研究內容

1. 考查題型和分值結構

試卷滿分150分，必做題140分，選做題10分. 其中選擇題12道，共60分；填空題4道，共20分；解答必做題5道，共60分；解答選做題2道（各10分，選做一題），共10分.

為分析近五年全國高考數學Ⅰ卷（理科）對于數學建模核心素養的考查情況，對考查題型和分值結構進行了匯總，如表1所示.

綜合分析，全國高考數學Ⅰ卷（理科）對于數學建模素養的考查以填空題和選擇題為主，近年來解答題的出現頻率上升，分值占比總體呈上升趨勢.

2. 評價框架

根據喻平教授對數學核心素養的評價框架，大致將其分為三個層面，即知識理解、知識遷移、知識創新［2］，對于這三個層面的不同要求如表2所示.

3. 例題分析

根據上述評價框架，從考查的形式、內容出發，分析評定5套試卷對于數學建模素養的考查要求變化. 因為題目數量較多，以下選取部分具有代表性的試題進行分析說明.

例1 （2020年題13）若x，y滿足約束條件2x+y-2≤0，

x-y-1≥0，

y+1≥0，則z=x+7y的最大值為________.

分析：本題的數學建模素養體現在通過數和符號的關系即不等式組的掌握、不等式與函數的轉化，體會方程與模型的關系，確定其最優解上. 題目要求學生正確理解三個不等式的數學意義，并運用數形結合思想，得出最優解.

該題為基礎題，屬于知識理解層面，重點考查學生對不等式組的理解和處理，以及對函數模型的體會. 基礎薄弱的學生可能會錯誤處理不等式組，對所求函數的幾何意義的理解也可能出現偏差，從而影響模型的建立.

例2 （2020年題11）已知☉M：x2+y2-2x-2y-2=0，直線l：2x+y+2=0，P為l上的動點，過點P作☉M的切線PA，PB，切點為A，B，當PM·AB最小時，直線AB的方程為（? ）

A. 2x-y-1=0 B. 2x+y-1=0

C. 2x-y+1=0 D. 2x+y+1=0

分析：本題的數學建模素養體現在解決平面解析幾何模型中的最值即最優解問題上. 從一次函數模型中的動點出發，用數學符號表示PM·AB，由此得出其值最小時動點P需要滿足的條件，通過計算得到最優解即所求方程.

該題難度適中，屬于知識遷移層面，重點考查學生對于模型的確定以及一定的計算能力，通過對模型的分析得出其最優解，完成方程的確定. 基礎薄弱的學生難從條件“PM·AB最小”構建出正確的模型，從而影響方程的計算結果.

例3 （2020年題20）已知A，B分別為橢圓E：+y2=1（a>1）的左、右頂點，G為E的上頂點，·=8. P為直線x=6上的動點，PA與E的另一交點為C，PB與E的另一交點為D.

（1）求E的方程；

（2）證明：直線CD過定點.

分析：本題的數學建模素養體現在從平面幾何模型——橢圓模型出發，用符號表示點和函數的關系上. 需要學生從中體會模型的變化，分析得出模型的特點，同時考查學生的計算能力. 學生根據動點確立符號，并由此展開計算得出模型，然后通過分析證明過定點的結論.

該題為綜合題，屬于知識遷移層面，考查學生求橢圓方程、直線與橢圓的位置關系以及求直線方程問題. 綜合來說，該題對于模型構建不算太困難，但計算量較大，基礎薄弱的學生在處理模型的過程中容易出現錯誤.

例4 （2021年題8）2020年12月8日，中國和尼泊爾聯合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86（單位：m），三角高程測量法是珠峰高程測量方法之一. 如圖（圖1）是三角高程測量法的一個示意圖，現有A，B，C三點，且A，B，C在同一水平面上的投影A′，B′，C′滿足∠A′C′B′=45°，∠A′B′C′=60°.由C點測得B點的仰角為15°，BB′與CC′的差為100；由B點測得A點的仰角為45°，則A，C兩點到水平面A′B′C′的高度差AA′-CC′約為（≈1.732）（? ）

A. 346B. 373

C. 446D. 473

分析：本題的數學建模素養體現在綜合運用數學模型表示新情境里的數學關系，用建模的方法認識分析實際問題上. 題目以珠穆朗瑪峰的測量法為背景，將實際問題抽象建立成立體幾何模型，要求學生通過三角高程測量法解決問題. 另外，學生需要一定的空間想象能力構建該立體幾何模型，并通過對模型的合理分析，進行正確處理，即如何正確將AA′-CC′的長度通過做輔助線的方式轉化為A′B′+100，并運用三角函數中的相關定理進行求解.

該題屬于知識創新層面，從實際問題出發，考查學生建立空間幾何模型的能力，并運用所學知識完成其中一些基本計算，同時考查學生簡單的直觀想象能力，培養學生綜合運用數學模型解決實際問題的能力.

例5 （2021年題10）將4個1和2個0隨機排成一行，則2個0不相鄰的概率為（? ）

A. B.

C. D.

分析：本題的數學建模素養體現在通過分析問題內部聯系，找到問題解決的切入點，建立合理的數學模型，將問題簡單化、常規化上. 該題要求學生采用插空法，對4個1產生5個空，分“2個0相鄰”和“2個0不相鄰”進行求解，分別得出兩種情況的排法數量. 學生需要理解問題的核心原理，選擇正確的排列組合模型，對問題進行分析解決.

該題屬于知識遷移層面，排列組合問題作為高考中必考的一個類型題，考查學生分析處理問題、將復雜問題進行分解的能力，從而找到問題解決的切入點，建立正確的數學模型. 例如，相鄰問題捆綁法，不相鄰問題插空法，特殊位置優先考慮，等等. 對于數學建模素養較弱的學生可能無法正確分析其中的關系而構建出錯誤的排列組合模型.

研究結果

1. 數學建模的內涵

數學建模是從實際問題出發，通過對實際問題的分析、抽象、簡化等，運用數學原理，優化、選擇并建立正確合理的模型，在此基礎上，通過現有數學知識求解模型以解決問題，再回到實際情境中解釋、驗證所得結果. 其大致過程可用圖2表示.

從教學定義出發，建模思想源于構建主義，其內涵是數學家經過大量的研究總結后歸納出的具有代表性的典型抽象化數學模型，通過這種模式，可以將大量數據進行有效量化，并借助這種量化關系選擇構建精準、有效的數學模型. 數學建模是現實生活與數學連接的紐帶，其數學過程是數學建模素養育人目標的具體體現. 與此同時，數學建模關注著傳統文化對學生學習乃至今后發展的影響，體現了教育的人文關懷［3］.

2. 數學建模能力要求

總體上說，數學建模是一項綜合性較強的數學活動，對于學生多方面的能力有一定要求.

（1）閱讀理解能力. 這需要學生依照一定的邏輯和思路方法對問題進行系統性分析，篩選關鍵信息，理解具體含義，在感知問題信息后，獲得對問題的感性認識. 閱讀能力較好的學生，能夠較容易地理解問題考查的內容和內涵. 讀得快，讀得準，理解對，理解深，這是數學建模的前提.

（2）抽象概括能力. 這需要學生將獲得的感性材料去偽存真，對問題適當簡化，忽略不必的次要因素，抓住主要矛盾，發現問題的本質，在不違背題意的前提下，在提煉、抽象的基礎上，將實際問題轉化為數學問題. 抽象概括能力較強的學生能夠較容易地將實際問題抽象為數學問題，這是數學建模的基礎.

（3）模型選擇能力. 這需要學生對問題有了一定的理解后，為了解決該問題，能夠選擇合適的數學模型，同一個數學問題可以有多個數學模型，同一個數學模型可以用于多個實際問題，如何選擇一個最佳的模型，直接關系到問題能否順利有效地解決，是學生綜合能力的體現，也是數學建模的關鍵.

（4）空間想象能力. 對于某些稍復雜的模型，如立體幾何模型，在抽象概括以及進行分析處理時，礙于技術工具的限制，學生只能依靠個人的空間想象能力進行構建，并以此來解決問題. 空間想象能力好的學生能夠較清晰地在腦海中呈現數學模型，并進行簡單的數學運用和處理，能夠促進數學建模素養較大提升.

（5）數學運算能力. 同樣，不管是在構建模型還是在求解模型的過程中，都會涉及一定量的計算，可能還會有近似計算和估計，所以即使模型選擇正確合理，如果計算能力欠佳，最終也是前功盡棄. 數學運算能力是數學建模的重要組成部分［4］.

3. 高考形式下的幾種常用模型

在前面的研究內容中可以看出，在高中階段對于學生數學建模核心素養的考查大多集中在數學理解和數學遷移方面，題目的難易程度集中在中等，題型的考查方式多樣，考查的基本模型分類如下.

（1）函數模型. 高中階段的大部分函數模型為一次函數、二次函數、指數函數、冪函數、對數函數以及簡單的分段函數等. 處理函數模型時，需要對各類函數的定義、性質以及一些拓展性內容扎實掌握，如定義域、值域的取值. 處理問題時，要靈活選擇并運用函數性質，通過數學知識從已知條件向所求問題靠近. 在高考范圍內，函數模型的考查形式多樣，選擇題、填空題、解答題都會涉及，分值占比較高，屬于高中階段較為重要的一種模型.

（2）不等式模型. 該模型在高考中大多以填空題為主，題目較容易，分值占比較低. 在處理過程中常配合函數進行解決，需要學生熟練掌握數形結合方法，理解模型的幾何含義.

（3）平面幾何模型. 在高中階段的平面幾何模型主要有三種，即拋物線、雙曲線、橢圓，在高考中以填空題和選擇題為主，分值占比中等. 在處理過程中需要學生對各類模型的基本知識，如焦點、漸近線等熟練掌握并靈活運用，也可能會與一次函數配合形成難度較高的動點問題，這要求學生在扎實的基礎知識上，會運用一些巧妙的求解方法解題.

（4）立體幾何模型. 該模型在高考中出現頻率最高的是一道解答題，幾乎每年都會出現，以求線面角和面面角為主，近年也在選擇題出現，需要學生有一定的空間想象能力，并對模型進行簡單輔助線處理以及運用三角函數知識進行求解，總體來說難度不大.

（5）數列、概率模型. 該模型在高考中大多以一道解答題的方式出現，也會涉及選擇題和填空題，學生需要理解題意，知道不同模型對應的解決方法，恰當運用方法就會比較容易解決.

4. 高考數學建模趨勢分析

近年來，數學建模素養的考查范圍越來越廣，內容越來越深，題型也越來越新穎，集中體現在以下幾方面.

（1）綜合性. 數學建模已經由單純的數學知識逐步轉化為知識、方法和運用能力相結合的綜合性題型，因此對于學生來說，單純的“記憶”遠遠不夠，要學會靈活運用不同的解題方法，從中感受數學建模思想.

（2）文化性. 特別是近兩年以數學文化為背景的題目頻繁出現，可見高考數學正在努力挖掘數學歷史長河中的精髓，從數學文化中體會建模思想.

（3）應用性. 尤以解答題為主，選取現實生活的背景考查學生的數學應用能力，讓學生體會數學來源于生活，應用于生活，要求學生不能停留在紙面上，而要有一定的應用意識.

（4）創新性. 對于同一個知識點，不管是從考查的角度還是從內容上，相比于以前，都有了一定程度的創新，需要考生對題意有較清楚的理解，在此基礎上解決問題. 創新型試題符合時代的發展，也是選拔高素質人才的要求.

教學培養的建議

由于很多學生的數學模型思維薄弱，難以從文字語言、圖像信息中提取并建立正確的模型，在當前疫情防控的背景下，教師更要做好課堂工作，在此提出以下建議.

（1）加強審題閱讀訓練，夯實數學模型基礎. 讀懂題目始終是數學建模的基礎，理解題目內涵，才能正確建立模型并解答問題. 教師在教學過程中應該對那些典型的閱讀難度較高的題目進行系統性整理和分析，從題目出發，教會學生如何去審題，如何找到關鍵信息，分清主次關系.

（2）優化課堂教學過程，提高數學建模能力. 教師要充分利用教師的主導作用來發揮學生的主體地位，優化教學過程，讓學生自主參與到數學建模的學習中來，體驗數學模型的構建過程，以此提高學生選擇并建立數學模型的能力［3］.

（3）重視教材內容挖掘，掌握基本數學模型. 高中階段有很多常用的數學模型，教師應充分利用課本資源，鞏固學生對于高中基本模型的基礎知識的掌握，并要求學生能熟練完成課后習題.

（4）強化數學運算能力培養，完善數學建模過程. 數學建模當然離不開運算能力，在當今科學技術發展迅速的時代，學生的運算能力卻不抵從前，然而運算在數學建模過程中也是重要的一環. 教師應當要求學生多進行自主運算，在作業中可以適當增加運算量.

（5）關注數學實際應用，開闊數學建模眼界. 數學來源于生活，并服務于生活，若離開實際應用，則數學就只是一紙空文. 因此教學過程中，教師要注重引導和培養學生在實際問題中的解題思維，幫助學生總結一般性的活動經驗，讓學生進一步體會數學與實際相聯系的過程，激發學生的數學學習興趣，同時培養學生的探究創新精神.

參考文獻：

［1］? 鄭笑梅，姚一玲，陸吉健. 中美數學英才教育課程及其實踐的比較研究［J］. 數學教育學報，2021，30（04）：68-72+88.

［2］? 王雅妍，陸吉健. 基于數學建模核心素養視角的數學測評研究——以杭州市近五年中考數學試題為例［J］. 數學教學通訊，2021（29）：3-4+28.

［3］? 陸吉健，丁姣娜. 數學核心素養的高考測評及其培養［J］. 中學數學雜志，2020（01）：1-4.

［4］? 高瓊，陳薏仁，陸吉健. 數學核心素養的中考測評分析及思考——以近五年杭州市中考為例［J］. 中學數學教學參考，2021（14）：54-57.

基金項目：教育部產學合作項目“線上線下混合式虛擬仿真教學模式及其實踐”（202101031035）.

作者簡介：胡一超（1999—），杭州師范大學理科綜合—數學與數學應用（師范）專業學生，未來教育協會研究助理，主要從事數學測試、未來教育等研究工作.

通訊作者：陸吉健（1990—），北師大和墨爾本大學聯培教育學博士，杭州師范大學講師，碩士生導師，主要從事數學測評、未來教育等研究工作，發表CSSCI、核心、SSCI等期刊論文近40篇.