高中數(shù)學(xué)概念建構(gòu)策略的研究

［摘? 要］ 數(shù)學(xué)概念的建構(gòu)方式有多種. 文章認(rèn)為，實踐操作活動建構(gòu)概念，能讓學(xué)生對概念的形成過程產(chǎn)生深刻理解，形成長時記憶；模型建構(gòu)概念是幫助學(xué)生完善知識體系的基礎(chǔ)；演繹建構(gòu)概念能讓學(xué)生理清概念間的聯(lián)系；類比建構(gòu)概念可讓學(xué)生對概念的內(nèi)涵與外延產(chǎn)生清晰的認(rèn)識；反思建構(gòu)概念可發(fā)展學(xué)生的學(xué)習(xí)能力.

［關(guān)鍵詞］ 概念；模型建構(gòu)；演繹建構(gòu)；類比建構(gòu)；反思建構(gòu)

概念是數(shù)學(xué)的細(xì)胞，是一切教學(xué)活動的基礎(chǔ). 高中階段所涉及的數(shù)學(xué)概念包含代數(shù)、幾何、概率、統(tǒng)計與三角學(xué)等，量多且范圍廣，一些抽象程度高且綜合性強(qiáng)的概念，難免會給學(xué)生的學(xué)習(xí)帶來困擾. 幫助學(xué)生理清概念的內(nèi)涵與外延是突破這一難點的關(guān)鍵. 實踐證明，優(yōu)化高中數(shù)學(xué)概念建構(gòu)可從以下幾方面做起.

活動建構(gòu)概念

教學(xué)中，教師若將概念直接告知學(xué)生，學(xué)生很快就會忘記；若演示給學(xué)生看，學(xué)生能夠記??；若讓學(xué)生親歷過程，學(xué)生能弄清概念形成的來龍去脈. 動作是感知的源泉，是教學(xué)的基礎(chǔ). 學(xué)生的智慧往往凝聚在十只手指上，操作活動的開展能為概念的建構(gòu)，奠定生動形象的表象基礎(chǔ)，幫助學(xué)生更好地接納、建構(gòu)概念.

隨著新課改的推進(jìn)，在注重“過程教育”的當(dāng)下，實踐操作活動的開展已經(jīng)從一種課堂形式轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)在需求，因此它成了不同數(shù)學(xué)課型的首選. 正如楊振宇所言，已有的知識與方法是別人指明道路讓你去走，而新的知識與學(xué)習(xí)方法需要我們自己去探索. 為了培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神，讓學(xué)生從根本上掌握概念的本質(zhì)，教師應(yīng)將培養(yǎng)學(xué)生的主動探索能力根植于課堂的每個環(huán)節(jié)，讓學(xué)生在手腦并用的活動中自主建構(gòu)并內(nèi)化新的概念［1］.

概念的形成會經(jīng)歷一個漫長的過程，一般由人類通過大量實踐逐步抽象而來. 教學(xué)中，教師可創(chuàng)造更多的機(jī)會，讓學(xué)生親歷概念的形成與發(fā)展過程，尤其是在多媒體迅速發(fā)展的今天，教師可以借助幾何畫板等工具，讓學(xué)生經(jīng)歷操作、發(fā)現(xiàn)、探索與歸納等過程，便于學(xué)生自主抽象概念，深刻體會“告知”與“自主建構(gòu)”的區(qū)別.

實踐操作能改變學(xué)生的數(shù)學(xué)觀，養(yǎng)成學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣. 教師設(shè)計概念教學(xué)時，應(yīng)結(jié)合學(xué)生實際的認(rèn)知水平和特點，創(chuàng)設(shè)豐富的活動情境，引導(dǎo)學(xué)生感知、體驗、應(yīng)用概念，達(dá)到主動建構(gòu)和完善認(rèn)知體系的目的. 如判斷立體幾何中的空間直線與平面的位置關(guān)系，教學(xué)圓錐曲線、向量坐標(biāo)、概率等，都可以通過開展活動來幫助學(xué)生建構(gòu)概念.

案例1 “拋物線”的概念教學(xué).

活動步驟：

（1）在一張紙的2厘米處畫一點，按照圖1所示的方法，將這張紙折疊20～30次獲得一系列折痕，并將這些折痕勾勒出來，形成一條曲線輪廓.

（2）觀察并猜想：所有折痕圍出了拋物線的形狀.

（3）畫圖，建立平面直角坐標(biāo)系，獲得與y=1/4x2的圖像接近的圖像.

（4）借助幾何畫板演示折紙的過程與拋物線的形狀.

（5）如圖2所示，畫3條與y軸平行的直線，經(jīng)過折紙發(fā)現(xiàn)其反射線恒過y軸上的某個定點.

（6）借助幾何畫板進(jìn)行演示與證明.

（7）形成“焦點”“準(zhǔn)線”的概念，概括拋物線的概念.

經(jīng)過以上實踐活動的探索，學(xué)生很快獲得了拋物線及焦點與準(zhǔn)線的完整定義. 在此過程中，學(xué)生積極參與整個操作過程，學(xué)習(xí)熱情空前高漲. 借助操作活動的開展實施概念教學(xué)，可讓學(xué)生在動手動腦的過程中仔細(xì)觀察，自主獲得問題的主要特征，為進(jìn)一步抽象概念奠定基礎(chǔ).

當(dāng)然，概念教學(xué)活動的開展，除了動手實操外，教師還可以帶領(lǐng)學(xué)生觀察一些仿真的實驗，以形成直觀的視覺沖突，為更好地建構(gòu)概念服務(wù). 值得注意的是，隨著時代發(fā)展而興起的現(xiàn)代化教學(xué)手段，不能只作為教師在課堂上演示的工具，還要讓這些先進(jìn)的設(shè)備設(shè)施成為學(xué)生動手實操的學(xué)具，鼓勵學(xué)生邊操作、邊觀察，獲得主動發(fā)現(xiàn)與建構(gòu)新知的能力.

模型建構(gòu)概念

數(shù)學(xué)模型是指為了達(dá)到某種教學(xué)目的，對現(xiàn)實原形進(jìn)行抽象并簡化而來的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu). 建模思想的本質(zhì)是抽象與轉(zhuǎn)化，從概念建構(gòu)的角度來看，建模是指抽象出現(xiàn)實事物的本質(zhì)特征，并將抽象而來的內(nèi)容提煉轉(zhuǎn)化為概念的重要思想. 數(shù)學(xué)建模對學(xué)生領(lǐng)會數(shù)學(xué)思想方法，體驗概念形成具有重要意義.

建模思想指導(dǎo)概念教學(xué)，不僅利于學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)知識，還能促進(jìn)學(xué)生對新事物的理解與掌握，從一定程度上培養(yǎng)與發(fā)展學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高教學(xué)的時效性. 借助建模思想實施的概念教學(xué)與傳統(tǒng)的概念教學(xué)的側(cè)重點有所區(qū)別.

案例2 “數(shù)列”的概念教學(xué).

傳統(tǒng)的數(shù)列概念教學(xué)，一般遵循以下流程，情境介紹有序變化的實例—抽象定義—辨析定義，其教學(xué)重點基本放在辨析哪些屬于數(shù)列、哪些不屬于數(shù)列的范疇，著重關(guān)注數(shù)列“有序”這一特點. 這種教學(xué)模式讓不少學(xué)生難以理解“有序”的要求是什么，為什么要研究“有序”這個問題.

以建模思想研究數(shù)列概念教學(xué)，一般遵循以下流程，師生共同探尋有序變化的實際案例—用數(shù)學(xué)語言表征案例所具備的共同屬性—抽象出數(shù)列的概念，其教學(xué)重點在概念的產(chǎn)生過程上，不僅要讓學(xué)生明白數(shù)列具有“有序”特征，還要讓學(xué)生結(jié)合數(shù)列概念的研究目的與產(chǎn)生過程，明白為什么數(shù)列具有“有序”特征.

類比以上兩種教學(xué)流程，前者將教學(xué)重心放在概念定義的辨析上，后者的教學(xué)重心則傾向于學(xué)生在建構(gòu)概念過程中的體驗. 換個角度來分析，即前者更注重概念本身，而后者則跳出了概念本身，在建構(gòu)過程中獲得理解. 也就是說傳統(tǒng)的教學(xué)模式能讓學(xué)生明白概念是什么，建模思想下的教學(xué)模式能讓學(xué)生明確概念為什么是這樣的.

我們所生存的這個物質(zhì)世界本就存在著不少有序變化的事物，教師帶領(lǐng)學(xué)生主動發(fā)現(xiàn)這類事物的特點，并將其有序性抽象出來可讓學(xué)生建構(gòu)新的數(shù)學(xué)模型，即形成數(shù)列概念. 鑒于以上兩種教學(xué)模式的類比，教師教學(xué)數(shù)列概念時，應(yīng)將教學(xué)重心傾向于數(shù)列的作用與意義，切忌與學(xué)生一起糾纏在概念的字面意義上，糾結(jié)于字面意義的概念教學(xué)無法讓學(xué)生體驗到概念的實際價值.

演繹建構(gòu)概念

數(shù)學(xué)知識本就是以概念為核心的演繹體系. 將高中階段的數(shù)學(xué)概念進(jìn)行簡單羅列，會發(fā)現(xiàn)很多概念之間存在著一定的邏輯關(guān)系. 如大家熟悉的函數(shù)，它與對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等都有著重要的內(nèi)在聯(lián)系，其中對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)是反函數(shù)的關(guān)系.

概念與概念之間不論是從屬關(guān)系，還是一般與特殊的關(guān)系，都為學(xué)生建構(gòu)概念明確了方向. 從認(rèn)知學(xué)的角度來看，概念學(xué)習(xí)同樣遵循“同化”與“順應(yīng)”過程，此過程主要通過概念間的聯(lián)系而界定［2］. 其實，概念間的邏輯關(guān)系是概念教學(xué)的催化劑，它不僅能幫助學(xué)生建構(gòu)穩(wěn)固的知識體系，還能讓學(xué)生體驗從特殊到一般或從一般到特殊的認(rèn)知規(guī)律.

綜上分析，教師在概念教學(xué)中可通過演繹來完善學(xué)生對概念間的邏輯關(guān)系的認(rèn)識，讓學(xué)生建構(gòu)完整的概念體系.

案例3 “三角函數(shù)”的概念教學(xué).

三角函數(shù)的概念教學(xué)在三角比內(nèi)容后，不少學(xué)生直接認(rèn)為這是三角知識，若探索三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)時，教師沒有采取相應(yīng)的辨析措施，直接以題論題進(jìn)行講解，則會讓學(xué)生忽略“三角函數(shù)實則為一類特殊的函數(shù)”，教學(xué)效果自然大打折扣.

在三角函數(shù)概念的教學(xué)環(huán)節(jié)，教師如果帶領(lǐng)學(xué)生借助函數(shù)概念的研究方法，深化對三角函數(shù)的認(rèn)識，那么三角函數(shù)概念的建構(gòu)則順理成章. 這種以演繹建構(gòu)概念的教學(xué)策略，對于學(xué)生而言，三角函數(shù)不再是孤立存在的三角學(xué)的相關(guān)知識了，而是“函數(shù)”這個大家族中的一個特殊點.

類比建構(gòu)概念

數(shù)學(xué)知識體系中，有不少屬性類似的概念. 遇到這一類的概念教學(xué)，教師可帶領(lǐng)學(xué)生從已知的概念屬性出發(fā)，借助問題情境引發(fā)學(xué)生自主類比、抽象，并給予新概念合適的名稱. 如此，新概念更容易同化到學(xué)生原有的認(rèn)知體系中.

案例4 “異面直線的距離”的概念教學(xué).

異面直線的距離反映的是兩條異面直線相對位置的幾何量，其中異面直線形成的角并不能刻畫異面直線間的遠(yuǎn)近程度，只能說明異面直線的傾斜程度怎么樣，如果想要刻畫兩條異面直線間的遠(yuǎn)近程度，還需要用“異面直線的距離”來分析.

為了讓學(xué)生在類比過程中建構(gòu)良好的概念結(jié)構(gòu)，教師可帶領(lǐng)學(xué)生回顧之前接觸過的點與點的距離、點與直線的距離以及平行線間的距離等，邊回顧、邊概括它們之間存在的共同點為：每種距離問題都可以歸納為點與點的距離，且這種距離具有“確定性”與“最小性”特征.

明確了關(guān)于距離的特征后，再研究兩條異面直線的距離問題. 此時，要求學(xué)生自主探討以下兩個問題：①關(guān)于異面直線a，b，它們之上的哪兩點間具有最小距離？為什么？②如圖3所示，已知點B為直線a上任意一點，過點B作BA與直線b垂直，A為垂足，那么線段AB的長是異面直線a，b的距離嗎？

探究引導(dǎo)：過點A作AC與直線a垂直，C為垂足，點C與點B不重合，那么在Rt△ABC中有AB>AC，也就是說存在AB并非最小的情況. 而后又過點C作CD與直線b垂直……若線段只與直線a，b中的一條垂直，則該線段只能是由a，b上相應(yīng)的三點連接而成的直角三角形的斜邊，其長絕不可能為a，b上任意兩點的最小距離. 那么，異面直線a，b上任意兩點的最小距離究竟是哪根線段的長呢？

通過以上引導(dǎo)，學(xué)生很快就有一種豁然開朗之感，并獲得結(jié)論：如果異面直線存在最小距離的話，那么最小距離就是與異面直線都垂直相交的線段的長.

在教師的引導(dǎo)與類比分析中，學(xué)生將獲得的結(jié)論進(jìn)行規(guī)范論證并表述，確定當(dāng)異面直線a，b存在公垂線段NM時，公垂線段NM的長是最小的，且是唯一的，因此公垂線段NM的長為異面直線a，b的距離.

類比分析讓學(xué)生自主建構(gòu)新概念，其中對于已有的距離概念的理解是衍生新概念的附著點. 鑒于概念是由學(xué)生自主類比分析建構(gòu)的，屬于一種自然過渡，課堂顯得自然、淳樸且充滿著生機(jī). 實踐證明，抓住新舊概念的異同點，可讓舊概念成為新概念的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，讓新概念從舊概念的身上生長而來. 當(dāng)然，類比的形式有多樣，如有限與無限的類比、平面和空間的類比等，類比帶來的結(jié)論并不一定完全準(zhǔn)確，教師還應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生形成及時勘誤的習(xí)慣，以完善對概念的認(rèn)識.

反思建構(gòu)概念

眾所周知，衡量學(xué)生對概念的掌握程度，并不在于學(xué)生對概念的語言表征的情況，而要從學(xué)生對概念內(nèi)涵與外延的理解程度來分析. 良好的反思習(xí)慣是建構(gòu)概念的基礎(chǔ)，也是促使學(xué)生對概念產(chǎn)生深刻理解的主要途徑.

案例5 “雙曲線”的概念教學(xué).

課堂中，當(dāng)抽象出雙曲線的定義（略）后，為了強(qiáng)化學(xué)生對雙曲線定義中的關(guān)鍵詞“絕對值”“小于

F

F”等的認(rèn)識，教師提出以下問題要求學(xué)生進(jìn)行反思：①若在其他條件不變的情況下，分別將定義中“小于

F

F”的條件替換成“等于

F

F”和“大于

F

F”，點的軌跡會是怎樣的？②若其他條件不變，僅僅去掉“絕對值”，點的軌跡會是怎樣的？③當(dāng)常數(shù)為0時，點的軌跡會是怎樣的？④去掉限制條件“小于

F

F”，其余條件均不發(fā)生變化，點的軌跡又會是怎樣的？

在以上幾個問題的驅(qū)動下，學(xué)生對雙曲線的定義進(jìn)行了全面反思，把每一種情況都考慮到了. 這種反思建構(gòu)概念的方式，讓學(xué)生對雙曲線的定義有了更深層次的理解，為接下來的應(yīng)用夯實了基礎(chǔ).

總之，概念教學(xué)在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中占有舉足輕重的作用. 教師應(yīng)從內(nèi)心深處認(rèn)識到概念教學(xué)的重要性，選擇優(yōu)異的學(xué)生容易理解和認(rèn)識概念的策略進(jìn)行教學(xué)，讓學(xué)生在理解與認(rèn)識概念的過程中夯實知識基礎(chǔ)，提升學(xué)習(xí)能力，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

［1］? 邵光華，章建躍. 數(shù)學(xué)概念的分類、特征及其教學(xué)探討［J］.課程·教材·教法，2009，29（07）：47-51.

［2］? 章建躍. 如何幫助學(xué)生建立完整的函數(shù)概念［J］. 數(shù)學(xué)通報，2020，59（09）：1-8.

作者簡介：王蕾（1985—），碩士研究生，中學(xué)一級教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)與研究工作，曾獲廣東省高中數(shù)學(xué)核心知識講解比賽二等獎.