可視化教學：數學教學的新方向

鐘苑嫻

［摘? 要］ 可視化的數學教學是新媒體、新技術支撐、支持下的顯性學習。在小學數學教學中，教師可以借助動作展示、圖形展示、言語展示等方式，為學生的可視化學習提供支撐、支持、支援。可視化的數學教學，讓學生的數學學習從被動轉向主動、從膚淺走向深刻。可視化的數學教學，能有效提升學生的學習力，發展學生的數學核心素養。

［關鍵詞］ 可視化教學；教學方向；數學學習；核心素養

在新媒體、新技術的支撐、支持下，學生的數學學習已經從傳統的內隱性、靜態性走向了外顯性、動態性。可視化教學，就是新媒體、新技術支撐、支持下的顯性學習。這種學習，一方面能敞亮學生的思維，讓教師觸摸到學生數學學習的脈搏；另一方面能促進學生的學習表達，從而更加有力地推動學生的數學思維、想象。可視化的數學教學，是當下數學教學的新方向。

[?]一、動作展示：為學生的數學學習提供支撐

學生的數學學習主要依賴于“思維”。可以這樣說，“思維”是學生數學學習的“靈魂”。在小學數學教學中，教師要始終致力于激發學生的數學思維。那么，學生的數學思維通過什么來推動呢？我們的答案是“動作”。“動作”就是學生學習過程最為生動的展現，它體現為學生的“動手做”“動手操作”。在數學學習中，動作為學生的數學思維提供了外顯的支援，而思維則為學生的數學動作提供了內在的支撐。從這個意義上說，思維與動作是相輔相成、相互促進、相得益彰的。

因此，這里的“動作展示”不是傳統的“學習展示”，而是學生建構數學知識的一個過程。小學生的數學思維以直觀動作為主，因此，學生的數學學習離不開動作。從某種意義上說，直觀的動作表征是學生最為重要的學習表征。“動作無思維則盲，思維無動作則空。”在整個數學學習過程中，學生的思維與動作相較于語言有著更大的優勢。作為教師，要引導學生的操作、啟迪學生的操作，要讓學生的動作展示與思維運作統合起來。比如有一類問題是“圖形的拼接”，由于情況比較復雜多樣，因而學生在解決這一類問題時容易發生錯誤。這樣的錯誤，歸根結底是由于學生沒有進行分析而導致的。為此，教師在教學中應當指引學生的動作操作，借助操作活化自我的思維，讓自我的思維隨著動作的變化而流動起來。同時，流動的數學思維又推動著學生的深度操作。如有學生將兩個長方形拼成一個更大的長方形，形成了兩種拼法：其一是兩個長方形的長相連；其二是兩個長方形的寬相連。在此基礎上，筆者引導學生計算長方形的周長，并引導學生反思：拼掉了兩條長，周長是多少？拼掉了兩條寬，周長是多少？在此基礎上，引導學生計算周長，并優化拼接的方法，形成周長最長和周長最短的拼圖形的最優方案。這樣的操作，不是盲目、機械的操作，而是周長計算引導下的操作，是有計劃、有目的的操作。動作展示，彰顯了學生深刻的數學思維。

動作是人類智慧的起源。最早的動作就是人類的勞動，它不僅創造了世界，也創造了人類自身。同樣，動作的展示不僅讓學生建構、創造了知識，還豐富了學生的數學基本活動經驗，促進了學生對數學思想方法的感悟。這樣的動作展示，是可視化數學教學的重要組成部分。

[?]二、圖形展示：為學生的數學學習提供支援

數學知識是抽象化的，因此要借助一定的方式將其展示出來。圖形展示是一種重要的展示方式。正如著名數學家、數學教育家華羅庚所說：“數形結合百般好，隔離分家萬事休。”融合了圖形展示，學生的數學學習就能感性與理性齊飛，具體與抽象共舞。因為圖形是多樣化的，又因為展示方式也是多樣化的，所以圖形展示就更加的多樣化。圖形展示，能為學生的數學學習提供有力的支撐。

在小學數學可視化教學中，教師要引導學生對抽象的數學概念直觀化、形象化、可感化，圖形可視化是其中最為重要的一種方式。作為教師，要充分地運用集合圖、概念圖、思維導圖等向學生展示數學知識的形成過程，引導學生應用這些集合圖、概念圖、思維導圖等來表征自己的思維、想象。在實際的數學教學中，教師不能引導學生為了畫圖而畫圖，而應當讓學生感受、體驗到畫圖的必要性，讓學生感受、體驗到沒有圖就不能解決問題，有了圖解決問題就能游刃有余。只有這樣，學生才能切身感受、體驗到畫圖的意義和價值。比如在教學“油桶問題”時，有部分學生能在頭腦中形成“倒油”的生活表象，進而能借助這樣的一種表象進行思維，從而有效地解決問題。但有的學生在解決問題時出現了困難，為此，筆者引導學生畫直觀的示意圖，將題意表征出來。當學生畫出了示意圖之后，他們就有了思維的拐杖。學生直觀地看到，倒油前后桶的質量大小都沒有發生變化，而油的質量大小發生了變化，倒油前后總質量的大小的變化就是桶中油的質量大小的變化。由此，學生能根據圖示關系，求解油與桶的質量。直觀的示意圖，讓題目中隱含的數量關系變得一目了然。正如數學家克萊因所說：“數學不是依靠在邏輯上，而是依靠在正確的直觀上。”在小學數學教學中，引導學生善于從直觀特征研究問題，往往能讓學生感受、體驗、感悟到問題解決的方法，并能讓這種問題解決的方法形成問題解決的策略，甚至形成問題解決的思想方法。

著名數學家拉格朗日曾說：“只要代數與幾何分道揚鑣，它們的進展就將變得狹窄而緩慢。但是，當代數與幾何結伴而行，它們就因為互相吸引而變得非常有活力，從而能以一種快速的步伐走向完美。”可視化教學，從根本上來說就是將代數的問題幾何化。可視化教學，就是引導學生在數學化的過程中將數與形完美結合，從而讓學生在直觀感悟中理解抽象的數學概念。圖形直觀是可視化教學的有效手段。

[?]三、言語展示：為學生的數學學習提供支持

言語與學生的數學學習的關系是微妙的。從根本上說，言語是學生數學思維的積極外化，而思維是學生言語表達的重要內容，言語是思維中表與隱的關系。學生的數學學習總是置身、嵌入語言之中的。言語與學生的思維是同步的，在可視化的數學教學中，教師要引導學生借助言語進行展示。言語展示，為學生的數學學習提供了重要的支持。

在可視化的數學教學中，教師要激發學生“言語表達”的欲望，引發學生積極的“言語表達”的內在需求，讓學生想表達、會表達、能表達、善表達。作為教師，要克制自己的表達欲望，賦予學生更多、更大、更廣的表達時空，要幫助學生搭建表達的平臺，引導、啟迪學生的數學表達，讓學生的數學言語表達成為學生數學思維、想象的動態展現。教學中，教師可以設定一個比較大的話題，比如教學“圓的認識”這一課時，很多學生都能說出圓的特征，但對圓的特征僅僅停留在感知的層面，還沒有上升到思維的層面。基于此，筆者在教學中引導學生進行深度思考：為什么圓有無數條半徑、無數條直徑？為什么同圓或等圓中所有的半徑都相等、所有的直徑都相等？如此，在問題驅動下，學生用各種方式進行證明。在此基礎上，筆者讓學生表達自己的驗證過程，讓學生交流自己的驗證方法，從而引發學生的言語展示、互動與交流，促進學生思維的碰撞。如有學生說，因為圓可以無限次地對折，所以圓有無數條半徑、直徑；有學生說，因為在同一個圓中可以畫無數條半徑、直徑，所以圓的半徑、直徑有無數條；有學生說，因為圓周上有無數個點，而連接圓心和圓上任意一個點的線段就是圓的半徑，所以圓有無數條半徑、直徑等。正是借助言語交流、互動、展示，教師能觸摸到學生的思維脈搏，學生之間也能交流自己的想法，從而有效地提升了學習效能。

言語表達是學生活動的生動展示。每一種言語表達都透露出學生的學習樣態、學習方式、學習方法等，每一種表達的背后都隱藏著一種思維假設。把握學生的思維、認知，能讓教師更有效地引導學生的數學學習。可視化的數學教學，能讓學生把握數學知識的本質以及數學知識之間的關聯。可視化的數學教學，讓學生的數學學習從被動轉向主動、從膚淺走向深刻。