同構對偶巧化簡 數形結合感直觀
——以2022年新高考Ⅰ卷第22題為例

廣東省華南師范大學附屬中學 (510630)

羅 麗

2022年新高考Ⅰ卷試題更加開放靈活，優化了情境設計，適當增加了應用性和創新性的試題，體現出對學生數學核心素養的全方位考察.高考命題加強對數學思想方法的考察，22題考察函數與方程、數形結合、分類討論、轉化與化歸的數學思想.該題構思新穎，結構精巧，本文從多層次、多角度給出解答與推廣.

1 試題再現

(2022年新高考卷Ⅰ第22題)已知函數f(x)=ex-ax和g(x)=ax-lnx有相同的最小值.

(1)求a；

(2)證明：存在直線y=b，其與兩條曲線y=f(x)和y=g(x)共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交點的橫坐標成等差數列.

分析：本題考查了導數的應用，函數與方程.第一問用導數求函數的單調性，函數的最小值，然后列出方程求得a的值.第二問求函數的零點，可作出曲線函數y=f(x)，y=g(x)和直線y=b的大致圖象，結合圖象分析，分別求出三個交點的橫坐標的表達式后，證明其成等差數列即可.本題第二問獨具匠心，結合方程的根與等差數列的知識，考察學生數形結合、轉化與化歸的數學思想以及推理論證能力和運算能力，巧妙運用函數同構法可以快速得出結論.

2 多解探究

(法一)分離出lna解方程(*)式.

(法二)簡單變形解方程(*)式.

(2)(法一)代數“同構”法.

圖1

下面需證明2x2=x1+x3.

注意到f(lnx)=g(x),x>0，因此有f(lnx2)=g(x2)=f(x1)，且lnx2,x1小于零，由函數f(x)(x<0)的單調性得x1=lnx2.又f(x)=g(ex),因此有f(x2)=g(ex2)=g(x3)，且ex2,x3都大于1，由函數g(x)(x>1)的單調性得x3=ex2.根據x2滿足(△)式，則有2x2=ex2+lnx2=x3+x1，即從左到右的三個交點的橫坐標成等差數列.

(法二)幾何法“對偶”性質.

圖2

(法三)幾何矩形的性質.

交點情況和圖象與解法二一樣，下面需證明.根據對稱性，直線AC垂直于y=x，直線BD垂直于y=x，又直線AB和直線CD與直線y=x平行，則四邊形ABCD為矩形.根據矩形的對角線互相平分，則有x2+x3=2x2=x1+x4.

特別地，因為x2=x3，則直線BC垂直x軸，三角形ABC為等腰直角三角形，那么四邊形ABCD為正方形.對角線BC與AD交于點E，根據對稱性，點E在y=x上.

點評：本題第二問用了三種方法求解，法一利用了函數“同構”特點，“同構”即結構相同，根據f(lnx)=g(x),x>0和f(x)=g(ex)，可以得到x1、x2和x3的數量關系，證明出等差數列的關系.法二利用“對偶”性質，充分考慮圖象的對稱性，利用數形結合的方法證明.法三在法二的基礎上利用矩形的對角線互相平分的性質進行說明，巧妙地將方程的解轉化為幾何圖象的關系.根據法三的方法，易將問題拓展到有四個交點的情形，并進行類似的證明.

3 變式拓展

吳康教授對此題拓展到有四個交點的情形，我們也用三種方法進行證明.

探究1 證明存在直線y=c，其與兩條曲線y=f(x)和y=g(x)共有四個不同的交點，并且從左到右的四個交點的橫坐標設為n1,n2,n3,n4,則n1+n4=n2+n3或n2-n1=n4-n3.

解法一：代數“同構”法.

圖3

可以做出直線與兩條曲線的圖象如圖3.

若有四個交點,則直線y=c的取值有兩種情況，一是直線y=c在直線y=b的上方，此時c>b(b=ex2-x2=x2-lnx2)，從左到右交點分別假設為點M，N，R，S，其中點M和R在曲線f(x)上；二是直線y=c在直線y=b的下方且大于兩條曲線的最小值，此時1

不妨首先討論當c>b時，根據交點的情況有f(n1)=f(n3)=c，g(n2)=g(n4)=c，n1<00和f(x)=g(ex)，則f(lnn2)=g(n2)=f(n1)，f(n3)=g(en3)=g(n4)，由函數f(x)(x<0)和g(x)(x>1)的單調性得，n1=lnn2，n4=3n3.故n2-n1=n2-lnn2=c=en3-n3=n4-n3,即n1+n4=n2+n3.

當1

解法二：幾何“對偶”性質.

只討論當c>b時的情形，若1

解法三：幾何矩形的性質.

利用原題解法三的思路，知四邊形ABCD為矩形，根據矩形的對角線互相平分，則有n2+n3=n1+n4.

點評：將問題拓展到有四個交點的情形，啟發學生類比聯想，化歸轉化，數形結合的數學素養，能主動地提出問題并解決問題.利用幾何法中矩形的性質可以挖掘函數問題的本質，啟發學生多角度思考與深度思維.

探究2 當直線與兩條曲線分別有三個交點和四個交點時，試比較n2+n3與2x2的大小.(四個交點時，中間兩個點的橫坐標為n2,n3；三個交點時，中間點的橫坐標為x2，x2≈0.527，b≈1.167)

結論當c>b時，n2+n3>2x2；當1

當1g(2x2-n2).因為g(n3)=c=f(n2)，需證明f(n2)>g(2x2-n2).令m(x)=f(x)-g(2x2-x)，需證明m(x)=ex-2x2+ln(2x2-x)>0在(0,x2)上恒成立.因為m(x2)=0，且m′(x)<0,x∈(0,x2)，則m(x)>0，0

點評：類似極值點偏移的做法，構造偏差函數h(x)=f(2x2-x)-g(x)，轉化為分析函數恒成立的問題.對于兩個函數比較交點的大小，本質上考察函數的對稱性和增速，可以通過構造偏差函數，將二元問題轉化為一元問題處理.判斷大小關系可以由極端情況進行推理，當c→∞時，n2→0,n3→∞,顯然有n2+n3>2x2.當c→1時，n2→0,n3→1，則有n2+n3<2x2.

4 觸類旁通

例1 (多選題)已知函數f(x)=ex+x-2和g(x)=lnx+x-2的零點分別為x1，x2，則下列結論正確的是( ).

A.x1+x2=2 B.x1lnx2+x2lnx1<0

分析：解決雙變量問題的常規思路是轉化為單變量問題，本題利用對偶特點和數形結合的方法，也可以巧妙得到答案為ABD.

圖4

A選項正確.由f(x)=ex+x-2=0得ex=2-x，由g(x)=lnx+x-2=0得lnx=2-x，作出函數y=ex，y=lnx，y=2-x的圖象如圖4：

由y=ex的反函數y=lnx關于直線y=x對稱，y=ex與直線y=2-x的交點為(x1，2-x1)，y=lnx與直線y=2-x的交點為(x2，2-x2)，可得x1=2-x2，即x1+x2=2.

在高中教學中，一題多解并非“炫技”，希望通過不同角度的解答方法啟發學生的數學思維.一題多變探究式教學，激發學生提出問題并主動研究，能夠透過現象看本質，厘清同類問題的解題思路，站在命題人的角度看問題.對于函數與導數的模塊，學生待突破的難點是如何處理復雜的計算問題并將相關條件轉化，教師在教學中應滲透數形結合、等價轉化、從特殊到一般等數學思想方法，從而提升學生的數學推理、數學運算等核心素養.數學探究類題型越來越受到命題者的重視，這也將加快數學教學模式的轉變，使探索發現成為日常教學的新常態.