考題等于例題嗎

福建省上杭縣第一中學 (364200)

黃武猷

例題教學是數學課堂教學的主旋律，精心設計例題對提高課堂教學效果有著直接的影響，尤其在復習課中表現更加明顯.但在實踐中發現，不少教師在章末復習課、高三一輪復習課、二輪復習課等不同階段均采用同一高考題或模擬考題作為課堂教學的例題，并且未作任何的修改，這種“拿來主義”的做法引起了筆者的一些思考.

一、考題與例題的功能差異

考題是側重于對特定的知識點、關鍵能力、數學思想方法或突出某個學科素養的考查，往往是“片面性”的數學問題.例題主要是為了幫助學習者復習鞏固所學知識，掌握利用知識解決問題的方法，起到查缺補漏和提升應用能力的作用，具有相對的“完備性”.因此，考題不等同于例題，不同階段的復習課例題應慎重選擇各類考題，有必要根據復習目標對其適當改編再使用，才能讓數學復習教學更有價值.

二、變考題為例題的路徑

1.變換呈現方式

案例1O是拋物線y2=4x的頂點，A,B是拋物線上的兩點，若OA⊥OB，證明直線AB過定點，并求該定點.

該題是2021年龍巖市高二上學期期末質檢題，先利用垂直關系假設直線方程，聯立拋物線后再求出直線AB的斜率，寫出其直線方程便可知它恒過定點(4,0).但作為復習課的例題，僅單純地這樣講解，其教學功效顯然不足，若能對問題進行多樣化的呈現，能讓學生“既見樹木，又見森林”.

變式1O是拋物線y2=2px的頂點，A,B是拋物線上的兩點，若OA⊥OB，證明直線AB過定點，并求該定點.

變式2O是拋物線y2=2px的頂點，A,B是拋物線上的兩點，若kOA·kOB=m，證明直線AB過定點，并求該定點.

變式3Q(x0,y0)是拋物線y2=2px上的一點，A,B是拋物線上不同于Q的兩點，若QA⊥QB，證明直線AB過定點，并求該定點.

以上通過逐次弱化的方式將原考題的條件進行變化，但求解的思路和方法卻與原考題相同，這種同型異構的例題呈現方式，有利于促進學生更好地探索一般性的解題方法，形成一類問題的求解經驗，提升數學思考能力，真正實現“授人以漁”.

2.拓展求解方法

過點(0,2)的直線l與圓O：x2+y2=4交于A、B兩點，則△OAB面積的最大值為，此時直線的斜率k=.

3.滲透數學思想

案例3 函數f(x)=ax3+3x-1，若?x∈[1,2]使f(x)≥0成立，則實數的a取值范圍是.

其它條件不變，將“x∈[1,2]”改為“x∈[-2,2]”.

改編前的考題突出基本方法的考查，但沒有突顯分類討論思想的應用和不同解法之間的比較，顯得“蘊味”不足.改編后的例題，囊括了分離參數法的各種可能，使求解的方法更具一般性，能讓學生知曉“離而求之和分而求之”是處理含參數不等式問題的兩種基本策略，開拓了學生的思維視野，滲透了分類與分步的數學思想，這樣的例題教學才能讓學生在復習課收獲更多.

4.延伸問題背景

案例4 奇函數f(x)的定義域為[-2,2]，當x∈(0,2]時，f(x)=2x-1，函數g(x)=x2-2x+m.若對于?x1∈[-2,2]，?x2∈[-2,2]，使得g(x2)=f(x1)成立，則實數m的取值范圍是.

這是2021年杭州市高三一模檢測題，首先根據條件可求得函數f(x)的值域為[-3,3]，g(x)的值域為[m-1,m+8]，則問題等價于[-3,3]?[m-1,m+8]，從而得m∈[-5,-2].該考題只考查了含參任意、存在性問題中的一種情況，若作為復習課例題就此講完，不利于培養學生思維的靈活性.為了完善學生的認知，可將部分條件改編如下(其它條件不變)：

變式1 若對于?x1∈[-2,2]，存在唯一x2∈[-2,2]，使得g(x2)=f(x1)成立，則實數m的取值范圍是.

變式2 若?x1,x2∈[-2,2]，使得g(x2)=f(x1)成立，則實數m的取值范圍是.

變式3 若?x1,x2∈[-2,2]，使得g(x)=f(x)成立，則實數m的取值范圍是.

變式4 若?x1,x2∈[-2,2]，使得g(x2)

變式5 若?x1,x2∈[-2,2]，使得g(x2)

變式6 若?x1∈[-2,2]，總?x2∈[-2,2]，使得g(x2)

變式7 若?x∈[-2,2]，使得g(x)

變式8 若?m∈[0,2]，都有g(x)>0成立，則實數x的取值范圍是.

波利亞說過：好問題如同采“蘑菇”一樣，找到一個之后，在它附近很可能就有好幾個.上述做法就遵循了這一規律，在充分理解題意的基礎上，借題發揮，深入挖掘其結構背景，圍繞問題本質進行適當的拓展延伸，讓學生在變化之中比較各個例題的不同與聯系，明辨不等式與等式有解、恒成立、能成立，及任意與存在這些易錯易混問題，拓寬了例題的教學功能，達到了以點帶面，觸類旁通的目的，對提升學生數學思維的深刻性和廣闊性大有好處.

5.增設對比問題

此題是2021年三明市高三聯考試題，它要求考生準確理解“函數f(x)為增函數”與“f′(x)與0”的大小之間的關系.其中，f′(x)是否可以取0是學生的一個易錯點.作為填空題，掩蓋了學生是否掌握這一知識的真實性.若將該題作為復習課例題使用，有必要將其改編：

A.(-1,+∞) B.[-1,+∞)

C.(1,+∞) D.[1,+∞)

(2)若函數f(x)=x3-2x2-mx在[1,2]上為減函數，則實數m的取值范圍是.

高效課堂是一個永恒的話題.對考題、例題的研究不僅能造就高效的復習課，也練就了學生思考的速度、深度、效度和靈活度，還成就了教師個人的專業發展.