錯中探因 錯中求進
——對一道數(shù)學(xué)練習(xí)錯因的分析與思考

湖北省隨州市曾都區(qū)第一中學(xué) (441300)

樂和順

數(shù)學(xué)教師對學(xué)生做錯的題目進行認真分析，找到錯誤的原因，幫助學(xué)生彌補存在的知識缺陷，督促學(xué)生理解掌握數(shù)學(xué)基本概念、基本方法，積累基本活動經(jīng)驗，逐步提高學(xué)生應(yīng)用知識分析問題、解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，這是數(shù)學(xué)教學(xué)活動的主要方式之一.本文就學(xué)生在學(xué)習(xí)教材中的一道例題時的出錯展開了分析和思考.

圖1

引例(人教社2019版高中數(shù)學(xué)必修第一冊238頁例2)摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機械建筑設(shè)施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉(zhuǎn)，可以從高處俯瞰四周景色.如圖1，某摩天輪最高點距離地面高度為120m，轉(zhuǎn)盤直徑為110m，設(shè)置有48個座艙，開啟后按逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，游客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置進艙，轉(zhuǎn)一周大約需要30min.

(1)游客甲坐上摩天輪的座艙，開始轉(zhuǎn)動tmin后距離地面的高度為Hm，求在轉(zhuǎn)動一周的過程中，H關(guān)于t的函數(shù)解析式；

(2)求游客甲在開始轉(zhuǎn)動5min后距離地面的高度；

(3)若甲、乙兩人分別坐在兩個相鄰的座艙里，在運行一周的過程中，求兩人距離地面的高度差h(單位：m)關(guān)于t的函數(shù)解析式，并求高度差的最大值(精確到0.1).

此題(1)中函數(shù)解析式的求解，以下幾種錯誤結(jié)果出現(xiàn)的頻率較高：

一、錯因分析

此題第(1)問“H關(guān)于t的函數(shù)解析式”的求解有較多學(xué)生出錯，分析其錯誤原因，主要有下面兩點：

一是學(xué)生不會數(shù)學(xué)建模，不能從實際問題情境中抽象出數(shù)學(xué)問題的本質(zhì).

本例實質(zhì)上就是求圓周上某點的縱坐標，所以模型應(yīng)用y=Asin(ωx+φ)+k的形式，而不用y=Acos(ωx+φ)+k.

二是學(xué)生對角的概念以及三角函數(shù)的定義沒有理解清楚.

①人教社2019版高中數(shù)學(xué)A版的角的概念：我們通常在直角坐標系內(nèi)討論角.為了方便，使角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合.那么，角的終邊在第幾象限，就說這個角是第幾象限角.

②人教社2019版高中數(shù)學(xué)A版的三角函數(shù)的概念：一般地，任意給定一個角α∈R，它的終邊OP與單位圓交點P的坐標，無論是橫坐標x還是縱坐標y，都是唯一確定的.所以，點P的橫坐標x、縱坐標y都是角α的函數(shù).下面給出這些函數(shù)的定義.

設(shè)α是一個任意角，α∈R，它的終邊OP與單位圓相交于點P(x,y).

(1)把點P的縱坐標y叫做α的正弦函數(shù)，記作sinα，即y=sinα；

(2)把點P的橫坐標x叫做α的余弦函數(shù)，記作cosα，即x=cosα.

解題分析：摩天輪上的座艙運動可以近似地看作是質(zhì)點在圓周上做勻速旋轉(zhuǎn).在旋轉(zhuǎn)過程中，游客距離地面的高度H呈現(xiàn)周而復(fù)始的變化，因此可以考慮用三角函數(shù)來刻畫.

圖2

解：如圖2，設(shè)座艙距離地面最近的位置為點P，以軸心O為原點，與地面平行的直線為x軸建立直角坐標系.

(3)略.

一般地，由于高中數(shù)學(xué)教學(xué)時間緊，學(xué)習(xí)內(nèi)容多，很多學(xué)生不重視對做錯題目的認真分析，以致同類題一錯再錯.所以教師教學(xué)中要重視對學(xué)生錯題的原因分析，引導(dǎo)學(xué)生認真分析出錯的原因，然后針對性地采取相應(yīng)補救措施.

圖3

以2秒一周的速度繞點O在圓周上按逆時針方向作勻速圓周運動(這里的角均指逆時針旋轉(zhuǎn)角).

(1)求t秒鐘后，點P到直線l的距離用y=f(t)(t≥0)的解析式；

二、教學(xué)思考

教師日常教學(xué)中要重視問題情境的創(chuàng)設(shè)，引導(dǎo)學(xué)生積極參入教學(xué)過程，關(guān)注知識的發(fā)生發(fā)展，重視數(shù)學(xué)基本對象的抽象與概括，指導(dǎo)學(xué)生弄清楚數(shù)學(xué)對象的構(gòu)成要素，理解數(shù)學(xué)方法的實質(zhì)，切實掌握好數(shù)學(xué)基本概念、基本方法、基本技能，積累基本活動經(jīng)驗.作為教師，我們平常的數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)把教學(xué)活動的重心放在促進學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)上，加強學(xué)生的學(xué)法指導(dǎo)，幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，樂學(xué)善學(xué).

教師要重視并督促學(xué)生對錯題進行認真分析，找到錯因，指導(dǎo)學(xué)生彌補知識、方法缺陷，舉一反三，提升分析問題、解決問題的能力.同時，要有計劃地對學(xué)困生做好個別輔導(dǎo)，幫助他們逐步解決學(xué)習(xí)上遇到的問題，增強其學(xué)習(xí)信心.特別是教師在課堂教學(xué)中應(yīng)克服輕概念、重刷題的傾向，真正將“雙基”落到實處，重視基本概念的學(xué)習(xí)，力求理解和把握概念的本質(zhì).