基于大概念背景下高中數學概念教學的實踐與思考
——以《平面與平面垂直的判定(一)》的教學片斷為例

江蘇省溧水高級中學 (211200)

李寬珍

1 問題的提出

所謂大概念，并非數學學科中所體現的概念或法則，而是指在進行數學教學的過程中，能夠有效呈現數學核心內容所規定的核心教學任務的概念.由于高中數學概念比較抽象，對學生的認知要求較高，并且數學概念又是發展學生思維、培養數學核心素養的關鍵因素，但在實際教學中，概念教學仍然得不到一線教師的重視.大多數教師認為，概念教學不需要浪費太多的時間和精力，其教學過程往往“重結論，輕過程”、“重記憶，輕理解”.基于大概念背景下的概念教學有助于揭示數學的本質特征，幫助學生正確理解數學教學的宗旨，將概念發生、發展的動態過程展示在學生面前，讓“冰冷的數學課堂”變得更加生動、 更加火熱. 為此，筆者以《平面與平面垂直的判定(一)》的教學片斷來談談大概念背景下高中概念教學，以期拋磚引玉.

2 教學片斷實錄

2.1 情境引入 明確方向

師：前幾節課我們學習了面面平行的判定和性質，我們一起來回顧學習內容(學生回顧面面平行的判定和性質及研究方法).

師：生活中其實更多的是不平行，我們來看一下生活中的這樣幾張圖片，并思考這些圖片給你一個什么樣的印象？(展示生活中常見的圖片：打開的書本、筆記本和打開的門)

生：這些圖片給我們的印象是兩個平面相交.

師：很好.兩平面相交的關系中，其中比較特殊的是兩平面垂直，這個又是怎么刻畫的呢？能否類比平面角定義平面和平面所成角？

今天我們就來學習兩個半平面所成的角和兩平面垂直的概念.

設計意圖：通過復習引導學生回顧已經學過的知識內容和學習思路，通過展示生活中的圖片，引出后面的探究活動，讓學生感受到所學知識是渾然一體的，知識結構更完整更清晰，空間位置關系的學習是連貫的、學習方法是相似的.

2.2 關注過程 構建定義

(1)二面角的概念

師：這三個圖片，是由我們的幾何圖形怎么演變過來的？

利用門、書、電腦三個生活中的實例，將其轉化為數學圖形，并清晰展示出其變化過程.

師：我們把這樣的幾何圖形稱為二面角.你知道構成二面角的要素是哪些嗎？

課件演示平面角和二面角的生成過程，并引導學生類比平面角的構成要素，學生思考并建構二面角的要素及相關概念.

師：了解了二面角的概念，那如何作出二面角并寫出二面角的符號表示呢？

生：類比平面角的表示方法，給出二面角的符號表示.

圖形表示：平臥式、直立式，同時黑板上作出圖形.

設計意圖：通過多媒體課件演示，類比平面角和二面角，降低了概念的抽象性，使得對二面角的認識更直觀，將學生對二面角的直觀認知推向理性認知.要定義二面角容易，但是通過類比得到的概念不突兀，更自然、合理.

(2)二面角的平面角及作法探究

師：我們知道，張開一定角度的筆記本構成一個二面角，那么隨著二面角張口的不同，二面角的大小不同，那如何度量二面角呢？

師：我們可以回憶下，我們是如何刻畫直線與平面所成角的大小的？

生：我們用線面角來刻畫直線與平面所成的角，也可以用平面角來表示二面角的大小，師：如何作出這樣的平面角呢？下面我們來自己動手畫一畫.

探究活動：每個學生用事先準備好的A4紙折出一個二面角，畫出一個平面角，變化二面角的大小，探討找出最合理的平面角來表示二面角的大小.

師：下面請同學們說一說你是如何作出這個角的？

生：過棱上任意一點作兩條與棱垂直的直線，這兩條射線所夾的角即為二面角的大小.

師：過棱上任意一點做一條直線，折成二面角后所成的角能做為二面角大小嗎？為什么？

生：過棱上任意一點做一條直線時，當兩個半平面重合時，二面角為0度，但是此時的角不是0度，產生矛盾.

師：那能不能在棱上取任意一點，使得重合時夾角為0度？

生：這樣雖然滿足了重合時的角度，但是當兩個半平面展開成平面角后，夾角不是180度，所以也不滿足題意.

師：很好！只有與棱垂直的兩條線的夾角才可以表示二面角的大小.(同時把二面角從重合狀態展開到平面大小時，觀察所作的角的大小，與二面角大小吻合.)

師生一起完善二面角的平面角的概念、表示方法及范圍.

設計意圖：引導學生自己動手操作，展示分享學生的不同結果，給學生示錯的機會，對各種不同結果的辨析，引導學生體會二面角的平面角的作法由來是合情合理，自然形成的，讓學生體會到數學定義、概念的形成都具有高度的科學性和合理性.

2.3 例題辨析 承上啟下

師：剛才了解了二面角的概念，那你能不能快速找出下面幾何體中的二面角.

例1 在正方體ABCD-A1B1C1D1中，找出下列二面角的平面角，并說說二面角的大小. (1)二面角D1-AB-D的大小；(2) 二面角C1-BD-C的大小.

(學生讀題、搶答，其他同學糾正，同時老師點撥講解，并再次回顧二面角及其平面角的概念.)

師：二面角的平面角必須要與棱垂直，當平面角是直角時，稱此時兩個平面垂直.那如何證明面面垂直呢？

生：只有用面面垂直的定義，找出二面角的平面角，求出平面角是90度.

師：通過例1，你發現這樣證明面面垂直有什么困難？

生：找平面角的過程繁瑣，有時還不一定好找.

師：說的很好！類似面面平行，這就有必要去尋找面面垂直的判定定理了.

設計意圖：通過例1的設置，一方面鞏固二面角的概念，另一方面讓學生體驗定義法的操作性欠佳，啟發學生類比面面平行，探索思考更簡潔的判定定理. 通過這樣承上啟下的鋪墊，這樣，學生的主觀能動性被激發，能自主探究新內容，而教師只需適時點撥，順其自然，自然過渡下一個內容，教學過程更加自然、流暢.

2.4 挖掘本質 獲得定理

(1)探究面面垂直的判定定理.

師：對于面面垂直，每次都找角、計算才能發現垂直，顯然太過復雜，我們需要更具操作性的判定定理. 我們來看下面這個實例.

探究活動2：以教室里的門為例，在門開合的過程中，你能找出哪些平面是垂直的？你能說說這是為什么嗎？

生：門在開合的過程中始終與地面垂直，原因是門軸與地面垂直.

師：很好！這樣我們就得到了平面與平面垂直的判定定理.

你能給出證明嗎？

生：根據定義，要證面面垂直，就要作出二面角的平面角，證明平面角的直角.

經過思考、討論，學生給出證明.

圖1

證明：如圖1，設α∩β=l，因為m⊥α,l?α，所以m⊥l.設垂足為點O，點B為直線m異于點O的點，則OB⊥l.在平面α內，過點O作OA⊥l，則∠AOB即為二面角α-l-β的平面角.因為m⊥α,OA?α,所以m⊥OA，即OB⊥OA.所以∠AOB=90°，即二面角α-l-β是直二面角.所以α⊥β

師：非常好！通過證明，我們又一次理解了二面角的平面角的作法，同時對于定理的學習，我們的學習思路仍然是通過實例、找到垂直的條件，然后證明結論，最終形成判定定理.以后的使用中，我們要注意判定定理的使用條件，在使用中強化對定理圖形、符號和結構的理解.

設計意圖：在本課起始階段，以多種生活中的案例展示給學生，保證學生腦中有面面垂直的印象，通過充足的案例，引導學生可以透過現象挖掘本質的東西，通過探究活動，提升了學生的空間想象能力、抽象概括能力和邏輯推理能力，進而培養了學生的數學素養.

2.5 突破難點 深化問題

學習判定定理后是熟練運用，讓學生理解證明面面垂直定理的關鍵是找到線面垂直，并用嚴謹、規范的數學語言給予證明.

圖2

例題如圖2，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求證：面A1C1CA⊥面B1D1DB.

學生思考、回答，規范板書，再次鞏固面面垂直的判定定理需要的條件.

設計意圖：例題解析，給出此類證明題的解題步驟，規范書寫，培養學生思維的嚴謹性，同時引導學生理解解決面面垂直問題的基本方法：線線垂直、線面垂直及面面垂直的轉化.

2.6 歸納整理，整體認識

師：通過這節課的學習，你有哪些收獲？

學生從知識層面和數學思想方面兩方面復盤、總結，教師啟發、補充、完善.

設計意圖：學完本節知識后，幫學生建立自己的思維導圖，將其納入其已有知識網絡，有利于學生更好的掌握和理解.

3 教學思考

以大概念統領具體數學知識，建立具體知識與大概念的對接，有利于促進學生從數學知識向核心素養的轉化.大概念背景下的數學概念教學有助于學生站在更高思維層次理解數學學習任務.

3.1 有助于建立數學概念體系

高中數學概念教學應圍繞大概念進行，這樣數學不同概念可以通過更具邏輯形式表現出來.在數學概念的學習過程中，學生可以主動通過歸納、比較、類比等方法將不同的知識串聯.

例如，在教學二面角概念時，筆者通過類比平面角的概念、形成及其要素，讓學生感受二維到三維，低階到高階的思維變化，將新知識的獲得建立在自己已有的知識體系內.這有助于學生加深對數學中相應概念和定義的理解和掌握，培養數學邏輯思維力.實際上，構建數學課程體系是至關重要的，不僅能夠有效地減輕學生在新知識學習和知識復習鞏固過程中的壓力，而且讓學生在單位時間內達到更為良好的學習效果.

3.2 有助于學生知識的融會貫通

在數學教學中，由于學習內容和課堂時長的受限，不少知識模塊被拆分成多節課，在不同的課堂上呈現.這樣做就會導致學生學生對這塊整體的思路被切斷打亂，等到下節課再開始時，學生就容易對這塊知識的理解出現斷層，銜接不暢，進而影響整體知識的融會貫通.

例如，在講授二面角的平面角時，筆者引導學生回憶線面角是如何刻畫的，進而想到面面角也可以用平面角來刻畫張口大小.這樣基于大概念教學理念的教學銜接讓學生對學習的新知識不會有突兀感，意識到教師在不同課堂上所教的知識其實是一個整體.一旦學生意識到這種這種連接鋪墊，原本數學教材中的碎片化內容就可通過重新整合，以更有系統性的方式展示在學生面前.長期以往，學生就能順利串聯數學課堂的知識，數學思維的廣闊性、深刻性得到有效培養，從而提高數學基本素養.

3.3 問題探究是課堂教學的主線

大概念直指核心概念，是一條思維線，有一定的探索性和生成性，可以通過問題探究，激發學生的求知欲.基于大概念背景下的教學，就要精心設計有思維含量的問題和探究活動.例如，在探索二面角的平面角用什么角來刻畫時，筆者事先給每位學生一張A4紙，引導學生將A4紙對折成二面角，用筆畫出二面角的平面角，并在二面角開合的過程中，驗證這樣的平面角是否正確.引導學生在動手畫圖、討論等多種活動中積累活動經驗，學生的數學思維在潛移默化中得到了發展.這樣，基于學生已有的生活和學習經驗，利用樸素的素材、簡易的手段，用數學核心問題和探究活動統領整節課，就能讓教學脈絡更加清晰，達到了“牽一發而動全身”之功效.

4 結語

基于大概念背景下的概念教學，有利于學生進行學法遷移，讓學生對單元知識有整體認識，善于能夠把握數學的本質.另外大概念教學的課堂節奏要慢一點.教師不要追求快節奏，要舍得給學生時間.例如，在探究平面角的獲得時， 讓學生不斷比畫，驗證，給學生很大的思考空間，而不是讓學生局限于某一道題.學生通過交流辨析，對空間角的理解會更加深刻.

總之，大概念是當今教學改革的熱點，但是每個教師都要保持清醒的認識，只有深刻理解了大概念的內涵，才能在教學中靈活運用，彰顯其價值，進而更好地發展學生的數學素養.