線段之妙 彰顯數(shù)學(xué)之美

?湖北省利川市教學(xué)研究和教師培訓(xùn)中心 羅仁義?湖北省利川市建南鎮(zhèn)民族初級中學(xué) 李小勇

1 原題呈現(xiàn)

圖1

(2019年恩施州中考第23題)如圖1，在⊙O中，AB是直徑，BC是弦，BC=BD，連接CD交⊙O于點E，∠BCD=∠DBE.

(1)求證：BD是⊙O的切線；

2 試題感悟

題目中由條件“過點E作EF⊥AB于點F，交BC于點G”給出的線段EF，在解題時的作用妙不可言，彰顯了數(shù)學(xué)之美，是本題的“點睛之筆”.其原因有三：其一，這條線段EF雖然在第(2)問中才出現(xiàn)，但它可以作為第(1)問中的輔助線，為第(1)問的證明拓展了思路，學(xué)生可以選用“垂徑定理”“圓周角定理”“圓弧、圓周角、圓心角之間的等對等關(guān)系”等圓的基本性質(zhì)來完成.其二，由于線段EF與BC相交于點G，第(2)問中要求的線段BG就是△BEG或者△BGF的邊，如果選擇用△BEG來求線段BG的長，就用“相似三角形”的知識來解決問題；如果選擇用△BGF來求線段的長，就用“勾股定理”的知識來解決問題.其三，由于線段EF的出現(xiàn)，圖形中又出現(xiàn)了一個等腰三角形CEG和幾組相似三角形(如:△BGE∽△BEC，△CGE∽△CBD，△GEC∽△EDB，△DEB∽△DBC)和一組直角三角形(Rt△BEF與Rt△BGF).

在考試過程中，考生充分展示了他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)：考生用他們熟悉的“圓的基本性質(zhì)”來找角的關(guān)系，用等角對等邊來確定線段的長度，用相似三角形找比例關(guān)系，用勾股定理列方程，熟練地進(jìn)行計算，準(zhǔn)確地解方程，規(guī)范地書寫答題過程.此題在實現(xiàn)考查和選拔功能的同時，也為考生提供了廣闊的思維空間；在考查學(xué)生數(shù)學(xué)知識的整合能力、探索解題過程的思維品質(zhì)的同時，也為初中數(shù)學(xué)教學(xué)起到了很好的導(dǎo)向作用.此題根植于教材，又……