著手特殊角度 一題多解

西華師范大學數學與信息學院

彭 亞 高 明

1 如何實現一題多解

一題多解，是指從不同的視角出發來分析題目，用多種方法來解題.它不僅能促進學生對題目本質的理解，還能發展他們的思維，更能激發他們解題的興趣，使數學解題教學充滿趣味性，數學課堂氛圍也變得活潑.本文中以一道常見的解三角形題目為例，分析題目的多種解法，展現解題過程，促進學生對一題多解的進一步認知.

解題的本質就是對題進行變換和化歸.要想實現一題多解，首先要拆解題目，明白題目具有的信息特征.比如數量、結構、關系、圖形等特征，不同的特征會帶給我們不同的解題視角.其次，選擇解題的策略.解題策略包括變、換、構、拆、湊，這也是一題多解的角度，不同的角度擬定不同的解題計劃.接著，根據解題計劃逐步實施.最后反思解題過程能否繼續優化拓展.

2 典例分析

例在△ABC中，角A,B,C所對應的邊分別為a,b,c，若角A,B,C的大小成等比數列，并且b2-a2=ac，求角B的大小.

思維視角一：根據余弦定理解題.

分析：由題中的條件b2-a2=ac出發，觀察該式的結構，聯想到余弦定理，二者聯合可以得到角A與角C的關系，結合題中條件角A,B,C成等比數列，求出角B.

解：由余弦定理，可得b2=a2+c2-2accosB.

又因為b2-a2=ac，所以c2-2accosB=ac.

即a=c-2acosB.

由正弦定理，得

sinA=sinC-2sinAcosB.

即sinA=sinC-[sin(A+B)+sin(A-B)].

即sinA=sin(B-A).

由于A,B∈(0，π)，所以A=B-A，即B=2A.

又因為角A,B,C成等比數列，所以B2=AC.

即C=4A.

點評:這道題是典型的解三角形問題.常規思路是分析題中的已知條件，觀察各邊和各個角的關系，根據題中的邊角關系來選擇解題方法.解題的大……