也談數(shù)學(xué)歸納法在解題中的應(yīng)用

內(nèi)蒙古巴彥淖爾市臨河區(qū)第一中學(xué)

薛思謙

1 引言

對于一類與正整數(shù)有關(guān)的命題的論證問題，當其他方法無法證明時，往往想到數(shù)學(xué)歸納法.用數(shù)學(xué)歸納法證明問題分三個步驟：第一步先證明當n取初始值n0(n0∈N*)時命題成立.這是第二步的前提，不可省去，初始值n0視題目而定，不一定是1.第二步先假設(shè)當n=k(k∈N*,k≥n0)時命題成立，在此基礎(chǔ)上，推證當n=k+1時命題也成立.這一步驟是數(shù)學(xué)歸納法最關(guān)鍵的步驟，要求對有關(guān)表達式進行恰當變形，而且在證明當n=k+1時命題成立時，必須以“當n=k時命題成立”為條件，否則是“假數(shù)學(xué)歸納”.第三步則由以上兩個步驟得出所證結(jié)論.這一步必須規(guī)范書寫，否則就不是數(shù)學(xué)歸納法.由此可見，數(shù)學(xué)歸納法不同于其他數(shù)學(xué)方法，它是一個特別注重書寫格式和過程規(guī)范的證明方法，這一點要引起大家的注意.在數(shù)學(xué)解題中，數(shù)學(xué)歸納法有著廣泛的應(yīng)用.主要體現(xiàn)在以下四個方面：用數(shù)學(xué)歸納法證明等式；用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式；用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)的整除性；用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想的結(jié)論.下文舉例說明.

2 用數(shù)學(xué)歸納法證明等式

對于有些與正自然數(shù)有關(guān)的等式的證明問題，當其他證明方法無能為力或過程太繁瑣冗長時，就可以采用數(shù)學(xué)歸納法.

(2)假設(shè)n=k(k≥2，k∈N*)時，等式成立，即f(1)+f(2)+f(3)+……+f(k-1)=k[f(k)-1]，上式兩邊同時加上f(k),得

即當n=k+1時等式依舊成立.

由(1)(2)可知，f(1)+f(2)+f(3)+……+f(n-1)=n[f(n)-1]對n≥2，n∈N*都成立.

點評：用數(shù)學(xué)歸納法證明等式問題的關(guān)鍵點在于弄清所證等式兩邊各項的規(guī)律，等式兩邊含有