巧借兩點距離公式 妙解空間應(yīng)用問題*

?江蘇省蘇州實驗中學

錢 寧

1 線段的長度問題

線段的長度問題往往可以直接轉(zhuǎn)化為空間兩點間的距離問題，利用對應(yīng)的距離來進一步分析與應(yīng)用.

例1在空間直角坐標系中，點A(1，2，-1)，點C與點A關(guān)于平面xOy對稱，點B與點A關(guān)于x軸對稱，則|BC|的值為( ).

分析：先根據(jù)條件中的軸對稱、面對稱來確定相應(yīng)點的坐標，再利用空間中兩點間的距離公式直接求解即可.

點評：空間中兩點間的距離公式除了可直接求解對應(yīng)線段的長度外，還可以間接用來確定平面幾何圖形的邊長、形狀等相關(guān)問題，此時直接利用空間兩點間的距離公式轉(zhuǎn)化是最基本、最有效的方法.

2 坐標的求解問題

坐標的求解問題往往直接轉(zhuǎn)化為空間中兩點間的距離問題，利用已知的距離通過相應(yīng)的方程來求解對應(yīng)的坐標.

例2在空間直角坐標系中，已知點A(4，5，6)，B(-5，0，10)，在z軸上有一點P，使|PA|=|PB|，則點P的坐標是______.

分析：根據(jù)條件設(shè)點P(0，0，z)，由|PA|=|PB|結(jié)合空間兩點間的距離公式建立關(guān)系式，通過解方程來確定參數(shù)z的值，進而確定點P的坐標.

解析：設(shè)點P(0，0，z)，則由|PA|=|PB|，可得

解得z=6，即點P的坐標是(0，0，6).

故填答案：(0，0，6).

點評：在空間直角坐標系中，往往先設(shè)出相應(yīng)點的坐標，再利用題設(shè)條件建立相關(guān)式子，進而確定對應(yīng)的坐標.這是解決坐標的求解問題比較常見的一種思維方式.

3 參數(shù)的確定問題

利用空間兩點間的距離公式可以解決對應(yīng)的參數(shù)問題，涉及相應(yīng)點的某個坐標參數(shù)、比值等.此類問題的求解往往結(jié)合空間兩點間的距離公式確定相應(yīng)的……