數列中探索性問題的類型與破解策略

?江蘇省大豐高級中學

姜興榮

1 引言

數列中的探索性問題是近年新課標高考中比較常見的一類創新性問題，根據數列中的定義、通項公式、求和公式以及相關性質等加以變形與應用，通過觀察、分析、試驗、歸納、運算、類比、猜想、論證來剖析與轉化，創新成分非常高.

2 數列中的條件探索性問題

此類問題的基本特征是：結合確定的結論，探尋未知條件，或確定條件的增刪情況，或判定條件的正誤等.解決此類數列問題的基本策略是執果索因，首先確定結論成立的必要條件，再檢驗或認證結論成立的充分條件.注意“執果索因”中推理過程是否可逆.

例1已知函數f(x)=logkx(k為常數，k>0且k≠1).

(1)在下列三個條件中選擇一個，使{an}是等比數列，并說明理由：

①{f(an)}是首項為2，公比為2的等比數列；

②{f(an)}是首項為4，公差為2的等差數列；

③{f(an)}是首項為2，公差為2的等差數列的前n項和構成的數列.

分析：對第(1)問根據等比數列的定義，結合不同條件建立對應的f(an)的關系式，通過數學運算與變形來分析；對第(2)問，結合(1)的結論與對應的條件，確定數列{bn}的通項公式，利用通項公式的裂項相消進行數列求和.

解析：(1)條件①③不能使數列{an}成等比數列，條件②可以.

所以

Tn=b1+b2+……+bn

點評：涉及數列中的條件探索性問題，根據不同條件加以合理推理與轉化，通過數列中定義、公式、性質等的應用來分析與運算.此類條件探索類問題，可以通過數列中的不同條件來分析對應的結論，也可以通過數列中的確定結論來反推滿足題意的條件等