巧用極化恒等式 妙解動態(tài)幾何題

?重慶市忠縣中學(xué)校

張 侶

?重慶市忠縣中學(xué)校

胡江麗

平面向量是高中數(shù)學(xué)的基本內(nèi)容，具有鮮明的獨特性質(zhì)(代數(shù)與幾何的紐帶)，現(xiàn)已成為人們研究的重點對象. 文獻[1]表明極化恒等式建立了數(shù)量積與幾何長度(數(shù)量)之間的聯(lián)系，作為代數(shù)與幾何的橋梁，具有化動(動點)為定(定點)、化動(動態(tài))為靜(靜態(tài))、化曲(曲線)為直(直線)、化普通為特殊之功效，應(yīng)用十分靈活. 文獻[2]也舉例討論了極化恒等式在部分解題中的應(yīng)用.文獻[3]以近幾年高考試題、江蘇省市級統(tǒng)考試題為例，對極化恒等式在數(shù)量積問題中的應(yīng)用進行歸納剖析，探索其解題規(guī)律. 涉及動態(tài)幾何中向量數(shù)量積的問題，運用常規(guī)方法很難找到求解問題的突破口，因而借助極化恒等式來求解就顯得尤為重要.

1 極化恒等式的展示

上式表明向量的數(shù)量積可以由向量的和、差運算的模來表示，該式將向量的數(shù)量積運算和向量的線性運算聯(lián)系在一起，將不可度量的向量數(shù)量積關(guān)系轉(zhuǎn)化為可度量、可計算的數(shù)量關(guān)系.

圖1

圖2

推論2(極化恒等式的三角形模式)如圖2，在ΔABC中，若M是BC的中點，則有

故得證.

2 極化恒等式的妙用

2.1 在平面幾何中的妙用

A.圓 B.橢圓 C.拋物線 D. 直線

分析：此題是通過給出平面的兩個定點和向量數(shù)量積，求解動點的軌跡問題.問題設(shè)置簡單，但考生很難快速解答，原因是雖然看起來破解此題的方法很多，有定義法、坐標(biāo)運算等，但都涉及到大量的運算，不免給學(xué)生計算帶來困難.若能……