例談含參數問題的運算優化策略*

?啟東市教師發展中心

沈 輝

1 引言

含參數問題主要考查函數的單調性、最值和分類討論思想，是高考、模擬考試中重要考點.如果方法選擇不當，計算起來會比較復雜，甚至做不下去，或出現遺漏等情況.本文主要談談幾個含參數問題如何回避討論，或降低討論難度的方法.

2 運算優化策略

2.1 特殊值法——局部縮小

綜上得，a=e.

點評：如果由f′(x)的表達式研究函數的單調性討論其最小值,則需分①2a≤1,②1<2a

例2(2008年江蘇高考卷第14題)f(x)=ax3-3x+1對于x∈[-1,1]總有f(x)≥0成立，則a=.

解析：由f(1)=a-2≥0，f(-1)=-a+4≥0，解得2≤a≤4.

故a=4.

點評：本題若化為fmin(x)≥0,但在求f(x)的最小值時需要對a分大于、等于、小于0三種情況討論，計算繁瑣，小題大做.利用上述特值限定參數范圍,則無需討論,簡潔明快.

2.2 參變分離——避免討論

方程有解(函數存在零點)、不等式恒成立、不等式存在性等含參數問題，很多情形下可以把參數和變量分離，將式子變成其中一邊不含參數的形式，從而避免討論.

例4(2014年江蘇卷第19題第Ⅱ問)已知函數f(x)=ex+e-x,其中e是自然對數的底數.若關于x的不等式mf(x)≤e-x+m-1在(0,+∞)上恒成立，求實數m的取值范圍.

解：由mf(x)≤e-x+m-1，得m(ex+e-x-1)≤e-x-1.

因為ex+e-x-1≥2-1>0，所以

評注:上述例3、例4兩題分別是含參數的方程有解問題和不等式恒成立問題,采用參變量分離法,避免了分類討論.

2.3 轉換視角——選擇主元

例5(2012年浙江理第22題第Ⅱ問)已知a>0,b∈R，函數f(x)=4ax3-2bx-a+b.

證明：當0≤x≤1時，f(x)+|2a-b|+a≥0.

分析：要證f(x)+|2a-b|+a≥0，即證4ax3-2bx+b+|2a-b|≥0.注意到不等式左邊含有x，a，b三個字母，如果把它們看成地位相當的三個變量,幾乎無處發力，很難展開研究.所以需要根據題目結構特征，人為劃分主從地位，選擇適當變量作……