“七彩陽光”2022屆新高考研究聯(lián)盟
——道試題的探究

?甘肅省張掖市臨澤縣第一中學

劉 義

1 引言

解三角形問題能自然合理交匯與融合代數(shù)關系式變換，以及函數(shù)與方程、三角函數(shù)、平面幾何與平面解析幾何、基本不等式、導數(shù)等相應的數(shù)學基本知識，背景簡潔明了，思想方法豐富，技巧策略多樣，能很好考查考生的數(shù)學基礎知識、思想方法和數(shù)學能力，提供考生更多的機會與空間，充分展現(xiàn)學生的能力水平，倍受各方關注.

2 問題呈現(xiàn)

本題是一道涉及解三角形的最值的綜合應用問題，通過給出三角形的面積，求解涉及三角形三邊的代數(shù)關系式的最值.此類問題是近幾年高考數(shù)學試卷中的一個熱點，主要考查解三角形的相關知識，如正弦定理，余弦定理，面積公式等，同時交匯三角函數(shù)、基本不等式、函數(shù)與方程、導數(shù)等相關問題.

3 問題破解

思維視角一：三角函數(shù)思維.

點評：根據(jù)題目條件，結合三角形的面積公式加以轉(zhuǎn)化，通過正弦定理化邊為角的關系式，利用所求代數(shù)關系式的通分以及恒等變換，結合余弦定理與正弦定理轉(zhuǎn)化為角的關系式，利用輔助角公式變形，利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)確定最值.

點評：根據(jù)題目條件，結合三角形的面積公式加以轉(zhuǎn)化，通過余弦定理的應用與關系式的變形，從另一角度將所求的代數(shù)關系式轉(zhuǎn)化為同一角的三角函數(shù)關系式，結合輔助角公式的應用，利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)確定最值.利用代數(shù)關系式的特征，巧妙合理變形，從而實現(xiàn)等量代換與變形，思維視角不同，方法技巧類似.

點評：根據(jù)題目條件，結合三角形的面積公式加以轉(zhuǎn)化，通過余弦定理的應用與關系式的變形，同樣可以將所求的代數(shù)關系式轉(zhuǎn)化為同一角的三角函數(shù)關系式，結合輔助角公式的應用，利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)確定最值.不同的公式應用與視角切入，抓住化邊為角，轉(zhuǎn)化為同一三角函數(shù)關系式，進而利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)確定相應的最值.

思維視角二：坐標思維(坐標法).

根據(jù)基本不等式，可得

點評：通過構建平面直角坐標系，結合點的坐標，利用三角形的面積公式確定點C的坐標，通過兩點間的距離公式的應用，通過關系式的恒等變形以及換元處理，利用基本不等式來確定相應的最值.

思維視角三：函數(shù)思維(導數(shù)法).

化簡整理得4c4-6(a2+b2)c2+3(a2-b2)2=0，解得

點評：利用海倫公式用邊的關系式來表示三角形的面積，通過關系式的轉(zhuǎn)化，構建涉及c2的方程并加以求解，進而用涉及另兩邊的關系式來表示所求的代數(shù)關系式，通過換元處理，構建對應的函數(shù)，利用函數(shù)求導，結合導函數(shù)的零點來確定對應函數(shù)的最值.利用導數(shù)法求解最值時，關鍵是構建對應的函數(shù)，合理地換元處理為導數(shù)法求解提供條件.

4 變式拓展

探究1保留題目創(chuàng)新情境，簡化求解代數(shù)式，使得問題更加簡單快捷，難度中等偏下，較原題難度有所下降，比較適合大部分同學.

故填答案：4.

探究2保留題目創(chuàng)新情境，改變代數(shù)關系式，化減號為加號，從最值的另一個角度來求解，知識點考查的難度與原題相當，難度中等.

5 解后反思

(1)思路歸納，策略總結.

解三角形問題的一般思路有以下兩種：①代數(shù)角度，利用正、余弦定理，尋找關于角或者邊的關系進行合理化簡.有時也可通過建立平面直角坐標系，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題進行求解.②幾何角度，借助平面幾何知識，尋找圖形中蘊藏的幾何關系，結合邏輯推理、數(shù)學運算等來分析與求解.

(2)最值問題，方法擔當.

破解解三角形有關的求值與最值問題，關鍵是對已知條件的分析，從代數(shù)角度切入，將邊角關系利用正、余弦定理進行轉(zhuǎn)化.利用正弦定理化角，往往會結合三角恒等變換公式以及輔助角公式，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的值域問題；利用余弦定理化邊，往往結合基本不等式和三角形三邊關系進行求解；利用平面幾何圖形的變化規(guī)律，通過極端思維或端點效應來確定相應的最值問題.