以“高考母題”為驅動 提高數學一輪復習效率

?江蘇省常熟市海虞中學

石雨茹

1 引言

高三一輪復習的目標是通過有限時間有所側重地幫助學生回顧所學知識，讓整個高中階段的數學知識系統化、網絡化和螺旋式地整合與提升.如何提高一輪復習的質量，讓復習效率最大化是每個高三數學教師必須面對，且始終密切關注的問題.為了讓一輪復習達到既夯實基礎，又提升能力的目的，筆者認為，以課本例題為素材，巧妙改造為高考母題進行針對性地強化訓練，可以達到鞏固記憶、啟迪思維、形成能力和提高素養的多重效能.

2 對“高考母題”的解讀

所謂的“高考母題”，可以是教材中的一些典型例習題，也可以是這些例習題的變形，它對應高中數學知識中最基本、最典型、最關鍵的知識點，是培養創新能力和問題解決能力的源泉.以“高考母題”為載體進行訓練，可以幫助學生快速厘清概念、把握原理、掌握規律，實現知識向能力的飛躍，讓知識與能力呈現螺旋上升的趨勢.

3 以“高考母題”為驅動提高復習效率的策略

3.1 善用“高考母題”，一題多解

善用“高考母題”進行一題多解的訓練，可以讓學生從多角度、多方位、多層次的分析和嘗試中厘清問題本質，活化思維，以達到觸類旁通之效.在這個過程中，教師應關注講解的開放性和發散性，鼓勵學生解法的多樣化，這樣才能以題帶知識點和解題技巧，這才是復習課的最佳效果.

例1已知圓C：x2+y2=r2，證明：過圓C上的一點M(x0，y0)的切線方程為x0x+y0y=r2.

拋出問題后，筆者放手讓學生去自主探究、合作討論，激勵學生大膽聯想和猜想.正是由于有了足夠的思考和探究時空，學生生成了多種證明方法，才有了如下登臺展示的精彩場面.

生1：我運用了斜率法.

過程如下：

x0x+y0y=r2

①

當x0=0時，易知切線方程為y=r(或y=-r)滿足①式；當y0=0時，易知切線方程為x=r(或x=-r)，同樣滿足①式.

綜上所述，過點M的切線方程為x0x+y0y=r2.

圖1

從“高考母題”這一探索點開始，學生展開了思考和探究，學生的思維從被動轉變為主動，從一般性策略到創意求解方法，靈活地運用向量、導數等相關知識.正是由于為學生創建的深度思考的氛圍，才能讓學生在不斷探索中擁有無窮的思維創造力，這對提升學生的思維品質和數學核心素養意義重大，同時有效地溝通了多個知識點，實現了知識間的有機融合，進而達到完善自身認知體系的目的.

3.2 善用“高考母題”，一題多變

倘若僅僅是就題論題式解答，既使求解過程再完美，也不過是掌握了一個問題，但一題多變的訓練有助于消除這一弊端.所謂的一題多變并非若干個獨立題目的簡單堆砌，而是具有內部關聯的多個習題，意在激發學生的探究興趣，開拓思路，深化學生對基礎知識的理解，培養解題能力.因此，一輪復習中教師應不拘泥于一道習題，活用典型問題，進行深入剖析和精細設計，做到一題求變，將高考母題拓展為多個值得學生探究的數學問題，讓高考母題真正成為學生思維拓展的有效素材.這樣，不僅可以讓知識更加透徹，還能開闊學生的解題視野，更重要的是能提高一輪復習的效果.

例2線段AB的長為2a，且其兩個端點A，B分別在互相垂直的兩條直線上滑動，動點M為AB的中點，試求點M的軌跡.

經過討論和交流，學生很快探究得出本題的解法，更進一步地，筆者設計以下變式：

變式2線段AB的長為2a，且其兩個端點A，B分別在夾角為θ(0<θ<90°)的兩條直線上滑動，動點M為AB的中點，試求點M的軌跡.

復習課無法回避“炒冷飯”的尷尬局面，而如何在“翻炒冷飯”的過程中調動學生的思維，為“冷飯”增添新的“佐料”，讓舊知識“炒”出新意，讓學生在一輪復習中保持熱情是教師的重要關注點.本例中，教師善于以“變”促學，讓變式問題不斷上升，使學生興趣盎然.通過解決變式，有助于學生在一輪復習中將基礎知識形成網狀知識結構，內化為自己的基本技能，感悟數學思想方法，同時還可以提高學生的自主探究能力.

3.3 善用“高考母題”，一題多用

學生聽懂一道習題并不意味著掌握，真正的掌握應該是利用此問題的解法去解決新的問題，也就是實現一題多用，這才是真正意義上的領悟和掌握.因此，在一輪復習中，為了實現觸類旁通，在探究和解答完高考母題之后，還需引導學生站在研究和剖析的角度審視問題，進一步回顧、總結和提煉，從而深化認識，提高復習效能.

例3試求出平面內到兩個定點的距離之比為2的動點M的軌跡方程.(具體解答過程略.)

本題推廣引申后，可得如下命題：平面內到定點A和B的距離之比為定值λ(λ>0，λ≠1)的動點的軌跡是一個圓.(這就是著名的“阿波羅尼斯圓”，這一結論就是阿波羅尼斯軌跡定理，這一問題頻繁出現于近幾年的高考試題之中，可見，是高考熱點問題之一.)

進一步地，筆者提出以下問題：

圖2

問題2如圖2，已知平面直角坐標系xOy中，直線l：y=2x-4，點A(0，3).設圓C的半徑為1，且圓心C在直線l上.若圓C上存在一點M使得|MA|=2|MO|，試求出圓心C的橫坐標a的取值范圍.

問題1和問題2背景相差甚遠，但題目中均涉及到“阿波羅尼斯圓”，這一知識點是解題的突破口.正是由于之前的總結和提煉，學生可以很快突破難點，尋得解法，靈活運用相關知識點解決問題.

4 總結

總之，一輪復習的主要目標是夯實基礎，提升能力.教師只有切實精心準備，以具有代表性的“高考母題”為指引，在深度和廣度上下足功夫，實施一題多解、一題多變、一題多用，才能讓學生真正做到做一題會一類，做一類通一法，才能幫助學生構建知識體系，提高思維能力，達到真正提高一輪復習效果的目的.