以題促教 以法增效
——微專題“讓復合函數的零點問題不再煩惱”的教學設計

?浙江省寧波市北侖明港高級中學

郭利芳

1 微專題的認識

依托主題明確、針對性極強的“微專題”進行高三復習，可以促進學生深度學習，有利于學生獲得清晰的數學知識網絡、系統的數學研究方法，加深對數學知識的理解，提高自身的數學素養，也符合新課標中以生為本和可持續發展的教學理念.

2 教學內容背景

零點問題是高考的一個熱點問題，而復合函數的零點亦是一個難點.它涉及內外兩層函數，問題的解決往往涵蓋數形結合、分類討論、轉化化歸等數學思想，所以，復合函數的零點問題具有關系復雜、綜合性強、難度大等特點，對學生的思維能力、運算能力和分析能力都有較高的要求.本節課的主要教學思路是以方法為主、附以知識的應用和能力的培養，通過例題的稚化、回歸、變式、拓展四個維度，在數學思想的滲透中歸納此類問題的常用解題策略，提升教學效果，實現以題促教、以法增效的目的.

3 教學案例設計

環節一：典例展現.

A.3B.4C.5D.6

設計意圖：學生此題得分率較低，對他們來說是一個難點，而零點又是高考熱點，因此，展開復合函數的零點個數問題的教學，符合學情和考情，即符合微專題的設計理念.

環節二：溫故知新.

(1)零點定義：對于函數y=f(x)(x∈D)，把使f(x)=0的實數x叫做函數y=f(x)(x∈D)的零點.

(2)關系：函數y=f(x)有零點?方程f(x)=0有實數解?函數y=f(x)的圖象與x軸有交點.

(3)復合函數y=f(g(x))常見解題策略：由內到外、由外到內，均體現著內層函數的整體性.

設計意圖：以問題帶動知識的回憶，在知識的回顧過程中整理問題的常用解法，充分調動學生參與課堂的積極性.

環節三：抽絲剝繭.

(1)稚化例題.

已知奇函數f(x)、偶函數g(x)的圖象分別如圖1、圖2所示，若方程f(g(x))=0，g(f(x))=0的實根個數分別為a，b，則a+b=______.

圖1 圖2

設計意圖：先從簡單問題出發，一來讓學生感受此類問題通過數形結合的方法定性判斷零點個數，相比代數法計算出零點值要簡單便捷；二來利用此題“以形助數”的方法，促進學生對數形結合的理解；三來促進學生加深理解函數與方程之間的關系.

(2)回歸例題.

A.3B.4C.5D.6

解：令2x2+x=t，作出外層函數y=f(t)的圖象，定性判斷外層函數的零點情況；再作出內層函數，觀察內層函數2x2+x=t的圖象，定性判斷內層函數零點情況.

故選答案：A.

設計意圖：在稚化引例的基礎上，學生對復合函數的零點問題已有方向，在解決復雜的引例時找回自信，并能根據函數圖象自然想到分類討論標準，進而在數形結合思想的指引下成功解決問題.整個過程較好地培養了學生邏輯推理、直觀想象和數學運算等核心素養.

(3)例題變式.

設計意圖：通過變式的設計，不僅培養學生的逆向思維，也強化了學生利用數形結合解決復合函數零點問題的方法，較好地提升了學生邏輯推理、直觀想象和數學運算等核心素養.

環節四：歸納提煉.

通過對例題的“抽絲剝繭”，引導學生歸納總結求解復合函數y=f(g(x))零點問題的技巧.

設計意圖：通過學生合作交流、歸納總結、梳理通法，掌握用數形結合的方法處理復合函數的零點個數問題，加深函數與方程、數形結合、分類討論與轉化化歸思想的理解和應用，培養數學抽象的能力.

環節五：直擊熱點.

(1)設函數f(x)=x2-x-1，若方程f(f(x))=t恰有三個實根，則實數t=______.

(3)已知函數f(x)=|x2-4x+3|，若方程[f(x)]2+bf(x)+c=0恰有7個不相同的實根，則實數b的取值范圍是______.

設計意圖：鞏固知識，理解函數與方程、數形結合、分類討論、轉化化歸等數學思想，提升學生綜合運用數學知識的能力.

環節六：歸納總結.

研究一個問題——利用圖象解決復合函數的零點個數問題；

得出兩個步驟——內外兼修；

運用三個數學思想——數形結合、轉化化歸、分類討論；

提升四個素養——邏輯推理、直觀想象、數學運算、數學抽象.

設計意圖：挖掘出本質，提煉出主線，總結出一定的數學思想和方法，以期達到見微知著、以小見大、舉一反三和培養學生數學核心素養的目的.

4 教學反思總結

本節課主要通過典型的復合函數零點題目展開，在抽絲剝繭中提煉出解決該類問題的通性通法，提升學生數學核心素養，實現以題促教、以法增效的目的.因此筆者認為，微專題復習教學不應只是簡單地對同類型的題目進行堆砌，這樣只會增加學生的挫敗感，而應挖掘出本質，提煉出主線，總結出數學思想和方法，以期達到見微知著、以小見大、觸類旁通和培養學生數學核心素養的目的，讓學生在事半功倍中快樂學習數學！