不同版本教材“誘導公式證明”的比較研究

?西華師范大學數學與信息學院

胡奇云

?綿陽東辰國際學校

陳文靜

1 引言

2 不同版本教材中誘導公式的證明分析

2.1 新人教A版的證明特點

2.2 舊人教B版的證明特點

教材首先證明了角α與α+k·2π(k∈Z)的三角函數關系，觀察該公式特征，進行猜想，進而研究角α與α+(2k+1)π(k∈Z)的三角函數間的關系.結合這兩個公式，推陳出新，得到角α與α+nπ(n∈Z)的三角函數間的關系：角α與α加上π的偶數倍的同名三角函數值相等；角α與α加上π的奇數倍的正弦、余弦值互為相反數，角α與α加上π的奇數倍的正切值相等.歸納總結公式，有利于學生理解與記憶，并培養良好的學習習慣.

2.3 新人教B版的證明特點

公式證明最后，均以相應的三角函數線之間的關系進行輔佐，學生動手操作，關聯舊知，互相結合加深印象，避免死記硬背公式.

2.4 北師大版的證明特點

教材內容分為誘導公式與對稱、誘導公式與旋轉兩部分，直觀展現了誘導公式的兩種證明方法，并以此將誘導公式進行分類.相較于其他版本，北師大版教材中各誘導公式的證明標題更加明確，主體突出，如“角α與-α的正弦函數、余弦函數關系”，證明結論也沒有順勢給出相關的正切函數，使知識點更加聚焦.

2.5 湘教版的證明特點

教材通過已證得的誘導公式來推導證明角α與π-α的三角函數關系，也提示學生從兩個角的終邊關于y軸對稱來探究，又繼續引導學生借助單位圓的三角函數線來研究，證明方法不再局限于一種，鍛煉學生的邏輯推理能力，有利于思維的發展.

2.6 各個版本教材證明的共同點

(1)證明過程均利用單位圓的對稱性.三角函數具有奇偶性，而奇偶性也是對稱性的一種形式，故三角函數也具有這些性質[3].圓最特殊和最重要的性質就是對稱性，所以利用圓的對稱性來研究三角函數的對稱性，符合2017年版課程標準要求.在單位圓中，兩個終邊具有對稱性的角，其與單位圓的交點亦具有對稱性，根據交點坐標的特征即證得誘導公式.

(2)對于研究角α與α+k·2π(k∈Z)的三角函數間的關系，以上版本教材都是依據三角函數的定義證明，銜接舊知，體現定義的基礎性與導向性.

(4)各版本教材均歸納了公式間的共同特征，將其一般化，總結概括為法則并明確用途.

3 課堂教學建議

3.1 對比教材，進行互補

3.2 自主探究，合作交流

證明誘導公式的思路和方法有多種，且有很強的邏輯性.課堂上教師可以讓學生自己動手證明，或小組合作探究.引導學生仔細觀察，猜測分析角之間的關系，激發學生的創新思維，提升學生數學學習的興趣.推理過程也能幫助學生內化數學知識和領悟數學思想，防止學生思維僵化和教學“滿堂灌”的現象，符合學生身心發展的需要.

3.3 關聯知識，注重聯系

誘導公式安排在三角函數定義之后，教師應在教學過程中注意新舊知識點的聯系和銜接，由淺入深帶領學生感受誘導公式的重要作用以及單位圓在三角函數中的重要性，強化對知識點的理解[4].另外，初中階段初步認識的銳角三角函數，在證明過程中也能用來引導學生進行關聯，從特殊到一般，加深情境印象，鞏固知識結構.

4 總結與反思

誘導公式揭示了終邊具有某種關系的兩個角的三角函數值之間的關系.各版本教材使學生基于單位圓從角終邊的對稱性的角度深刻理解并運用誘導公式，體會對稱的作用.誘導公式的證明體現了數學中的簡化思想、化歸思想和數形結合思想.如何合理有效地將不同版本教材的特點運用于教學活動中，使課堂效率最大化，還有待研究.