談一道高中數學教材經典習題的解法*

?北京豐臺二中

甘志國

1 談一道高中數學教材經典習題的解法

解：與教材[1]配套使用的《教師教學用書》[2](2020年8月第1次印刷)第193頁給出的該題解答是：

由題設可求得a=2，于是由雙曲線的定義可得||MF1|-|MF2||=4.又因為|MF1|=5，所以所求|MF2|的值是1或9.

高中數學教材[1]、[3]～[5]的習題中均給出了下面的題2，且與這些教材配套使用的《教師教學用書》中給出的解法也相同，可見其“經典”之程度.

題2如果雙曲線4x2-y2+64=0上一點P到它的一個焦點的距離等于1，那么點P與另一個焦點的距離等于.

不妨設|PF1|=1，因而|PF2|=17.

A.11 B.9 C.5 D.3

解:B.由所給雙曲線的方程及雙曲線的定義，可得||PF1|-|PF2||=6.再由|PF1|=3，可得|PF2|=-3或9(舍去負值)，所以|PF2|=9.

解:11.由所給雙曲線的方程及雙曲線的定義，得||PF1|-|PF2||=6.再由|PF1|=5，可得|PF2|=-1或11(舍去負值)，所以|PF2|=11.

“正值保留、非正值舍去”這種檢驗方法似乎完整無誤，果真如此嗎？請看另一道高考題：

該學生的解答是否正確？若正確，請將他的解題依據填在下面空格內；若不正確，將正確的結果填在下面空格內：.

答案：|PF2|=17.

疑問：為什么得到的|PF2|的正值“1”又要舍去呢？難道題1～4的解法有誤或者有不嚴謹之處，答案有錯嗎？

我們要知道下面的常識：不是通過等價轉化得到的答案都要檢驗.如果得到了兩兩互異的n(n∈N*)個答案，則檢驗的結果有2n種可能：恰有其中的0個答案滿足題設，或恰有其中的1個答案滿足題設，……，或恰有其中的n個答案滿足題設.比如，當不是通過等價轉化得到了兩個不同的答案(記作λ,μ)時，檢驗的結果有四種可能：λ,μ均不滿足題設(此時原問題無解)；λ滿足題設，但μ不滿足題設(此時原問題有唯一解：解是λ)；