一題多解 提升數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維能力
——以“立體幾何二面角的多種解法”為例

江蘇省蘇州市相城區(qū)陸慕高級中學(xué)

吳 靜

二面角的解法是立體幾何的一個(gè)重要內(nèi)容，它能有效地培養(yǎng)學(xué)生的空間想象、幾何直觀、邏輯推理、運(yùn)算求解等能力.教師如果能引導(dǎo)學(xué)生一題多解，更能充分提升他們思維的廣闊性、深刻性、探索性、靈活性、獨(dú)創(chuàng)性等，進(jìn)而促進(jìn)創(chuàng)新思維的形成.

1 “一題一解”不能適應(yīng)學(xué)生素養(yǎng)發(fā)展的需求

學(xué)生處理二面角的計(jì)算問題主要有兩個(gè)方法：一是通過作出二面角的平面角，再在三角形中使用余弦定理.另外一個(gè)是向量法，即通過建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算出兩個(gè)平面的法向量的夾角.但是在平常的數(shù)學(xué)訓(xùn)練中，學(xué)生遇到具體的問題時(shí)，往往只能想到其中一種方法，當(dāng)這種方法出現(xiàn)卡殼時(shí)，解題就會出現(xiàn)困難.比如，學(xué)生會遇到作不出二面角的平面角或圖形不規(guī)則不能夠順利建系等情況.

例1如圖1所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在棱BB1，CC1上(均異于端點(diǎn))，AB=AC，∠ABE=∠ACF，BB1⊥平面AEF.

圖1

(1)求證：四邊形BEFC是矩形；

教師可以先問學(xué)生例1考查的知識點(diǎn)是什么.顯然例1以斜三棱柱為載體，考查線面的位置關(guān)系以及二面角的計(jì)算.對于第(1)問，學(xué)生通過證△ABE≌△ACF得到BE=CF.又從BE∥CF，BE⊥EF出發(fā)，進(jìn)而證得四邊形BEFC是矩形.班上中游以上的學(xué)生基本能做出來.對于第(2)問，可以轉(zhuǎn)化為求平面ABC與平面AEF所成的銳二面角，但是學(xué)生卻發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)平面沒有現(xiàn)成的交線，因而不好直接作出二面角的平面角.這道題目的難點(diǎn)就在于圖形不常規(guī)，學(xué)生不知道如何建系.要讓學(xué)生突破“一題……