巧借常值數列 妙破數列問題

四川省成都市第七中學

廖學軍

常值數列是一類特殊的數列，是等差數列與等比數列的一個和諧統一.常值數列中各項的值都相等，其通項公式是an=a1=a(n∈N*，a∈R)，是一個公差d=0的等差數列，當a≠0時其又是一個公比q=1的等比數列.常值數列在解題過程中往往有其特殊的作用，特別在一些相關的數列問題中，常值數列的特征不明顯，經過合理的變形、轉化與推導，“添油加醋”才能選取、配湊或構造出對應的常值數列，進而借助常值數列的相關特征性質來處理與解決問題，往往能起到非常良好的效果，出奇制勝，簡單快捷處理相應的數列問題.

1 巧選常值數列

根據題目條件，選取滿足條件的特殊數列——常值數列，進而利用常值數列的特征性質來分析、處理與解決問題.

例1已知等差數列{an}的前n項和為Sn，若a3+a5+a7=24，則S9等于( ).

A.288 B.144 C.72 D.36

分析：結合題目條件，通過選取特殊數列——常值數列，使一般性的等差數列問題特殊化，進而在特殊情況下加以運算，再對特殊情況下常值數列的運算結果進行一般化處理即可得以快捷求解.

解析：不妨設等差數列{an}的公差為0，此時數列{an}是一個常值數列，則由a3+a5+a7=24，可得a1=an=8，所以S9=9a1=9×8=72.

故選：C.

點評：通過特殊的常值數列的選取與引入，可以非常快捷地處理一些與數列運算有關的通項、求和等問題.通過常值數列等特殊數列的選取，將一般性的數列問題特殊化，使問題簡單統一化，簡化運算.

2 巧判常值數列

根據題目條件，準確判斷出滿足條件的數列為特殊數列——常值數列……