巧借函數圖象 妙解零點問題

江蘇省徐州市第三中學

郭 琪

1 引言

函數的圖象從直觀角度反映了函數相應的基本性質.在解答選擇題、填空題時，可以直接根據函數的圖象迅速得出解題方案；在解答題中，也可以從函數的圖象上獲得一些有用的解題思路.而解答一些函數的零點問題時，借助函數的圖象，可以更加直觀有效地解決一些與函數的零點個數、零點所在區間等相關數學問題.

2 零點個數判定

涉及較復雜函數的零點個數的判定問題，經常將其轉化為方程的實根問題，借助兩個函數圖象的交點個數情況來分析與直觀判定.經常以常見的基本初等函數的圖象為轉化的根本目標.

例1已知函數f(x)=e-x+x2-3x+1，則函數f(x)的零點個數為( ).

A.3 B.2 C.1 D.0

分析：結合函數所對應的方程的恒等變形轉化，將函數的零點問題轉化為方程的實根問題，再進一步轉化為一個指數函數與一個二次函數圖象的交點問題，從而利用數形結合巧妙轉化，直觀判定.

解析：由f(x)=e-x+x2-3x+1=0，變形可得e-x=-x2+3x-1.

在同一平面直角坐標系內作出指數函數y=e-x和二次函數y=-x2+3x-1的圖象，如圖1所示.

圖1

由圖1可知，函數y=e-x和y=-x2+3x-1的圖象有2個交點.

所以，函數f(x)的零點有2個.故選擇：B.

點評：涉及函數零點的個數判定問題，其實就是對應的方程的實根個數問題，但是直接通過解方程來分析與求解并不容易，而是根據對應函數的圖象與性質來直觀判斷，尤其是那些變形轉化后方程兩端對應的函數類型不同且均是基本初等函數時，大多用數形結合方法求解與處……