透過(guò)題干抓本質(zhì) 類(lèi)比推理巧解題

白銀市第一中學(xué)

高曉藝

1 問(wèn)題提出

類(lèi)比推理也稱(chēng)類(lèi)比法.在人教A版選修1-2中第二章推理與證明中有系統(tǒng)詳細(xì)的介紹.類(lèi)比推理是培養(yǎng)和提升學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)的重要的知識(shí)載體.而在教學(xué)過(guò)程中，我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生在應(yīng)用類(lèi)比推理解題時(shí)往往存在思維過(guò)程無(wú)法落地的困惑.僅僅追求所得結(jié)論與題干已知結(jié)論的“形似”，而忽略了類(lèi)比的本質(zhì)“神似”.從而導(dǎo)致了對(duì)一些較為復(fù)雜的問(wèn)題無(wú)從下手求解.

實(shí)際上，在進(jìn)行類(lèi)比推理時(shí)，我們所需要的核心并不是結(jié)論的一致性或者相似性，而是透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，挖掘在解題過(guò)程中對(duì)本質(zhì)思想或方法的類(lèi)比過(guò)程.

本文中將結(jié)合幾個(gè)利用類(lèi)比推理思想來(lái)求解的具體案例進(jìn)行實(shí)踐和反思.

2 教學(xué)案例

請(qǐng)你類(lèi)比上述方法，計(jì)算1×2×3+2×3×4+……+n(n+1)(n+2)的結(jié)果.

解：依題意可得

由此可得

…………

以上n個(gè)式子相加，得

問(wèn)題推廣1：

“計(jì)算1×2×3×4+2×3×4×5+……+n(n+1)(n+2)(n+3)的值.”[1]

問(wèn)題推廣2：

求12+22+32+……+n2的值.

=1×2+2×3+……+n(n+1)-(1+2+……+n)

A.714 B.1870 C.4895 D.4896

解：由an+1=an+2-an，得

例3在等差數(shù)列{an}中，若a10=0，則有a1+a2+……+an=a1+a2+……+a19-n(n<19,且n∈N*)成立.類(lèi)比上述性質(zhì)，在等比數(shù)列{bn}中，若b9=1，則存在怎樣的等式？

分析：等差數(shù)列與等比數(shù)列由于具有相似的定義和性質(zhì)而經(jīng)常進(jìn)行類(lèi)比.首先分析題干本質(zhì)，在等差數(shù)列中,由a10=0,易知，an+a20-n=0,即an+1+a19-n=0，故an+1+an+2+……+a19-n=0，因此有結(jié)論a1+a2+……+an=a1+a2+……+a19-n成立.那么類(lèi)比到等比數(shù)列中，由b9=1，得bn·b18-n=1，即bn+1·b17-n=1，因此bn+1·bn+2……b17-n=1，故可類(lèi)比推理得出相應(yīng)的性質(zhì)b1·b2……bn=b1·b2……b18-n(n<18，且n∈N*).

解：在等比數(shù)列{bn}中，若b9=1，則有b1·b2……bn=b1·b2……b18-n(n<18，且n∈N*).

圖1

分析：首先分析題干中“黃金橢圓”的離心率求解過(guò)程，進(jìn)而類(lèi)比求解“黃金雙曲線(xiàn)”的離心率.其實(shí)質(zhì)依然是求解過(guò)程及思路的類(lèi)比，是思想方法的遷移.

3 教學(xué)反思

開(kāi)普勒曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“我珍視類(lèi)比勝過(guò)任何別的東西，它是我