注重通法 揭示本質(zhì) 落實素養(yǎng)
——以2022年高考數(shù)學(xué)全國甲卷文科12題的解法研究為例

四川省溫江中學(xué)

張 君 王奮際 張斌輝

1 真題再現(xiàn)

(2022年全國甲卷文科第12題)已知9m=10，a=10m-11，b=8m-9，則( ).

A.a>0>bB.a>b>0 C.b>a>0 D.b>0>a

2 試題分析

羅增儒教授把解題總結(jié)為“條件預(yù)示可知并啟發(fā)解題手段，結(jié)論預(yù)告需知并誘導(dǎo)解題方向”，解題的本質(zhì)是尋找條件與結(jié)論的關(guān)系.題從兩種角度思考解題方案：一是綜合考慮條件與選項，做等價變形；二是直接從條件出發(fā)，推導(dǎo)結(jié)論.

觀察已知條件，a,b均為指數(shù)式與常數(shù)之差，作差后不易比較大小，又由于a,b無法判斷正負(fù)，作商也不易比較；再觀察選項發(fā)現(xiàn)，a,b都需要與0比較.故可考慮等價變形為三個對數(shù)值log1011，log910，log89的大小比較，即為思路1.

等價變形為三個對數(shù)值的大小比較，此時可以直接作差(解法1)或作商(解法2)比較，也可利用數(shù)列單調(diào)性(解法3)，函數(shù)單調(diào)性(解法4)或糖水不等式(解法5)比較.解法1～3不約而同地可以使用均值不等式將對數(shù)乘法轉(zhuǎn)化為加法，解法4則利用函數(shù)求導(dǎo)尋找單調(diào)性，解法5需要學(xué)生有一定積累.

由于條件中的三個表達(dá)式結(jié)構(gòu)類似，可以考慮構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性比較，即為思路2.此時可轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點和單調(diào)性問題(解法6)，也可轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象來分析問題(解法7)或指數(shù)函數(shù)圖象的增長速度問題(解法8).

如果將9m作為整體，避開對數(shù)運算，適當(dāng)放縮，那么此題可轉(zhuǎn)化為尋找a的下界和b的上界問題(解法9).

上海市特級教師文衛(wèi)星老師主張用思維導(dǎo)圖對解題思路加以形象總結(jié)[1]，此題解題思路可表示為如下思維導(dǎo)圖(如圖1).

圖1

3 一題多解

3.1 綜合條件與選項，恒等變形轉(zhuǎn)化

由9m=10知m=log910，比較a=10m-11與0的大小，等價于比較10m與11大小，等價于比較m=log910與log1011大小；同理，比較b=8……