靈活構造三角形，妙解“kPA+PB”型最值問題

摘要：在近幾年的中考數學試題中，常常出現求“kPA+PB”型幾何最值問題.面對此類問題學生往往不知道從哪里入手，導致無法解答.本文中從不同的方面對“kPA+PB”型幾何最值問題進行分析研究，提高學生的幾何直觀素養，為更好的解題做鋪墊.

關鍵詞：kPA+PB；幾何最值；胡不歸；阿氏圓

關于“kPA+PB”型的幾何最值問題，我們可以著手從點P的不同運動位置進行分析研究.當點P在直線上運動時，此問題可轉化為“胡不歸”問題，特殊情況下，若k=1時，這個模型問題就轉變為涉及軸對稱的最短路徑問題，也就是我們常說的“將軍飲馬”問題；當點P在圓上運動時，此問題可轉化為“阿氏圓”問題.下面將針對這兩種模型進行探究，便于提高學生的幾何直觀認識，提高解題速度.

1 “胡不歸”問題

基本模型 如圖1，點A是直線l上的一個定點，點B為直線l外的一定點，點P在直線l上運動，如何確定點P，使得kPA+PB（0lt;klt;1）的值最小.

根據基本模型我們不難發現以下幾個要點：直線上l存在一定點A，一動點P，B為直線l外一點，求的是kPA+PB（0＜k＜1）的最小值.那面對這樣帶有系數的折線如何去求最值呢？我們往往采用化折為直法，利用“垂線段最短”進行求解.模型圖如圖2所示.

綜上所述，我們發現不管是哪種類型的問題模型，都是在構造三角形解決問題，一種是構造直角三角形，另一種是構造相似三角形.借助構造進行轉化，將折線問題轉化為線段問題，只不過“胡不歸”問題是借助“垂線段最短”來求最小值，而“阿氏圓”問題是借助“兩點之間線段最短”來計算最小值（或最大值）.