“由數及形”代數推理和幾何直觀的融合

摘要：在“反比例函數圖象與性質”的探究過程中，把“解析式特征”與“圖形特征”緊密結合.通過先“想一想”再“畫一畫”的教學環節，緊緊抓住反比例函數解析式“定積”特征，“由數及形”推理得到反比例函數的圖象“特征”，觀察圖象“特征”歸納得到反比例函數的性質.嘗試在教學過程中通過不斷設問、追問，引導學生不斷反思、深入思考，在學生獨立思考、自主探究和合作交流中培養學生推理能力和幾何直觀等核心素養.

關鍵詞：代數特征；代數推理；幾何直觀

1 “代數推理”的內涵和意義

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱課程標準（2022年版））強調推理能力和幾何直觀素養的發展［1］.推理能力的發展應貫穿于整個數學學習過程中.推理是數學的基本思維方式.在初中數學教學中，對于代數部分的教學，更多的是停留在代數的運算，而往往忽視了代數推理.代數推理就是通過歸納類比得到結論，側重于對數與式的分析和變形，對學生自主建構知識體系、培養深刻的理性思維、發展核心素養有著不可替代的作用.因此，在日常的教學中，應抓住時機選擇適當的教學載體提升學生的代數推理能力.特別是在函數的教學中，建立“數”與“形”的聯系，在“由數及形”的過程中，培養學生代數推理的關鍵能力.本文中以浙教版《義務教育教科書·數學》八年級下冊第六章“反比例函數”第2節“反比例函數圖象與性質”內容為例，對教學設計進行了研究，現予以闡述.

2 基于“由數及形”的教學設計案例

2.1 內容解析

學生在小學已經學習過反比例關系，七年級學了分式，八年級上冊學習了常量、變量、自變量、因變量，函數及函數值等概念，研究了正比例函數、一次函數.學生對函數的概念、圖象和性質有了一定的認識，知道了研究函數的一般方法，積累了畫函數圖象的一般經驗：列表-描點-連線.本節課基于此展開對“反比例函數圖象和性質”的探究，鞏固畫函數圖象的一般方法，繼續積累數學基本活動經驗，為后續學習二次函數的圖象和性質等積累活動經驗［3］.

2.2 目標建構與難點分析

2.2.1 目標和目標解析

基于課程標準（2022年版）要求，確定本節課的教學目標：

（1）能利用反比例函數解析式的代數特征推理反比例函數圖象的特征.

（2）能畫反比例函數圖象，通過畫反比函數圖象，進一步體會反比例函數三種表示方法的聯系和轉化，通過反比例函數的三種表示方法感知反比例函數的變化規律.

（3）經歷反比函數性質的探索過程，發展類比遷移能力、代數推理能力和幾何直觀［2］.

達成目標（1）的標志：能指出自變量和因變量都不能等于零，知道自變量和因變量的符號與比例系數k值相關聯，理解兩個變量之間的對應關系.達成目標（2）的標志：能畫反比例函數圖象.達成目標（3）的標志：能根據反比例函數圖象歸納出反比例函數的性質特征，并利用性質解決問題.

2.2.2 教學問題診斷分析及解決策略

本節課是建立在學生已經學習了一次函數圖象畫法的基礎上，有了畫函數圖象的基本經驗：列表、描點、連線.但一次函數圖象是一條直線，點與點之間用線段連接，它是直線型函數圖象，且一次函數是連續函數.這樣的經驗和函數特征對學生學習反比例函數圖象會產生負遷移.根據以往的教學經驗，學生會有以下錯誤呈現：（1）連線用線段；（2）圖象不完整（只有一個分支）；（3）兩個分支用線段連接；（4）沒有延伸趨勢或延伸趨勢錯誤.針對這些問題，本節課選擇從反比例函數解析式的代數特征切入，引導學生發現自變量和因變量的取值特點和變化規律.在解釋“反比例函數圖象為什么不能用線段連接”環節，不僅用特殊點驗證，還利用幾何畫板描點，通過不斷增加點，幫助學生直觀感知反比例函數圖象是光滑曲線，且不斷接近x軸和y軸.

3 教學過程簡介

環節一：激活舊知，引入新課.

回顧：（1）想一想函數有哪幾種表現形式？

（2）說一說正比例函數的研究路徑和性質.

生：函數有解析式、表格、圖象三種表現形式.正比例函數的研究路徑是定義—圖象—性質—應用.性質為k＞0時，圖象在一、三象限，y隨x的增大而增大；k＜0時，圖象在二，四象限，y隨x的增大而減小.

設計意圖：激活舊知，引導學生將正比例函數圖象與性質的學習經驗遷移至反比例函數圖象與性質的學習中.

問題1 我們已獲得反比例函數解析式y＝kx（k≠0），你能類比正比例函數圖象與性質的研究方法來研究反比例函數圖象與性質嗎？

設計意圖：只給一般式，讓學生類比正比例函數性質的探究過程，自行發現反比例函數的圖象和性質與k有關，并對k賦值，意在培養學生“從一般到特殊”的數學思想.

環節二：交流對話，探究新知.

問題2 你先選擇哪個解析式進行研究？為什么？

追問1：若先選y＝8x進行研究，你能根據解析式的代數特征“想到”圖象的樣子嗎？如果你有發現，先寫下來，繼續“想”；如果發現不了，可以選擇畫圖或嘗試借助表格進行探究.

追問2：說說你是怎么想到的？具有這些圖象特征的根本原因是什么？

生1：因為x為分母，分母不能為零，所以x≠0.又因為k≠0，所以y也不能等于零，即圖象與x軸，y軸都沒有交點.

生2：將解析式變形為xy＝8，因為8是正數，所以可以知道x，y同號，所以圖象在一、三象限.

生3：從xy＝8看，當x，y都取正數時，如果x變大，根據積為8是定值，那么y將變小.

師：感謝這三位同學的分享，他們的想法對畫圖有很大幫助.現在請大家動手畫圖象，看看借助圖象是否還有其他發現.

通過列表，學生還發現函數圖象上的點關于原點對稱.

設計意圖：引導學生學會研究函數性質的一般方法，即先分析函數解析式的代數特征，再借助自變量與因變量的表格分析二者之間的關系，最后再結合函數的圖象直觀地理解所研究函數的性質.此過程中基礎薄弱的學生可以邊想邊列表邊畫、邊畫邊想，想畫結合，使不同層次的學生都有不同的收獲，得到不同的發展.

追問3：描點后，你用什么線連接各個點？為什么？

追問4：如果用線段連接，我們能否找個特殊點加以驗證？

設計意圖：追問3是讓學生“知其所以然”.追問4是激活學生的已有知識——（1）用臨近兩點間的中點坐標代入解析式驗證；（2）確定橫坐標，通過函數解析式求出縱坐標并加以驗證.

不少學生因為正比例函數圖象是直線，從而對反比例函數圖象的學習產生了負遷移，描點后也用線段連接.針對這一問題，筆者提出追問3和追問4，引導學生思考并及時發現錯誤，再利用幾何畫板逐步增加取點的個數讓學生逐步發現點越多函數圖象越清晰，函數圖象不同于直線而是光滑的曲線，如圖1，圖2所示.

（1）求這個反比例函數的表達式；

（2）補畫這個反比例函數圖象的另一分支.

設計意圖：鞏固新知，讓學生體驗成功的喜悅.

環節五：歸納總結，納入系統.

（1）本節課你學到了反比例函數的哪些新知識？

（2）你有哪些感悟和收獲？

（3）你還有想繼續探究的問題嗎？

設計意圖：梳理本節課所學內容和方法.問題（1）引導學生類比正比例函數圖象和性質的研究方法來研究反比例函數的圖象與性質；問題（2）引導學生歸納總結反比例函數圖象和性質的學習方法；問題（3）引導學生觀察反比例函數圖象，運用“數形結合”的方法可以進一步探究反比例函數的性質.三個問題重在對反比例函數圖象學習過程的反思、感悟，提升學習能力.

4 進一步的思考

（1）挖教材，關注通性通法

多版本教材進行比較，深度挖掘，不局限于某一版本.“先畫后想”或“先想后畫”是讓學生想畫結合，從“想一想、列一列、畫一畫、再想一想”切入設計，能想就先不畫，想象不出來的可以及時“列一列、畫一畫”，再借助表格和圖形思考.這樣，能力強的學生有機會想象；想象力弱的學生可以借助表格和圖形思考.如此分層任務，適時介入，讓不同層次的學生在課堂上都有事可忙，都能在已有的基礎上有所提高.同時，也培養了學生研究函數的一般方法：先分析函數解析式的代數特征，然后借助自變量與因變量的表格來分析二者之間的關系，最后再結合函數的圖象直觀地理解所研究的函數的性質.這樣采用函數的三種表現形式研究函數性質的方法，不僅能讓學生學會從多角度分析，也能讓學生進一步明確三者之間的內在邏輯關系.

（2）重系統，重視思維的生成和發展

數學思想的發生發展蘊含在知識的形成和發展之中.本節課通過已有的正比例函數學習經驗，激活學生學習函數的一般思路和方法，將正比例函數圖象與性質的研究方式類比遷移至反比例函數的學習中.學生通過歸納概括感悟到了數學思想方法獲得的路徑.同時，將函數知識系統化和結構化，既體現了教學的整體性和層次性，又有助于學生形成分析和歸納的能力，有利于學生函數觀念的形成和理性精神的培養.

（3）育素養，提升學生的核心素養

各版本教材對于反比例函數圖象描點后如何連線，都是直接給出“用光滑的曲線連接”，并未提出為什么要用曲線.本案例在連線的地方設計了“描點后，你用什么線連接各個點？為什么？”觸發學生的深度學習，不僅讓學生“知其然”，還要讓學生“知其所以然，何由以知其所以然”.借助多媒體輔助教學，運用幾何畫板軟件描點并運用點追蹤等手段，讓學生直觀感知圖象特征，使歸納推理更加可信，同時也培養了學生的幾何直觀，發展了學生的空間意識.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2022.

[2]章建躍.數學核心素養在初中階段的主要表現之三：幾何直觀［J］.中國數學教育，2022（Z3）：3-9.

[3]章建躍.第三章“函數的概念與性質”教材介紹與教學建議[J].中學數學教學參考，2019（28）：17-24.