類比學(xué)習(xí)路徑 重視探究過程

摘要：基于對(duì)《課標(biāo)（2022版）》的研讀，本文中對(duì)“5.1.2矩形的判定”進(jìn)行再設(shè)計(jì).類比平行四邊形研究路徑，通過對(duì)矩形判定定理“引入—發(fā)現(xiàn)—猜想—驗(yàn)證—表述—應(yīng)用”的探究，體現(xiàn)定理學(xué)習(xí)的一般過程，提高學(xué)生思維品質(zhì).

關(guān)鍵詞：矩形的判定；類比；探究

1 研究背景

筆者在“共享優(yōu)課”活動(dòng)中設(shè)計(jì)浙教版八下“5.1.2矩形的判定”一課時(shí)，進(jìn)行了如下思考：

（1）浙教版教材重視知識(shí)體系的完整性，將作為特殊平行四邊形的矩形納入平行四邊形的整體研究體系中.

在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，矩形作為平行四邊形之后學(xué)習(xí)的第一類特殊平行四邊形，可以類比已有的研究平行四邊形的方法，由學(xué)生自主建構(gòu)研究路徑，對(duì)矩形進(jìn)行探究.

平行四邊形板塊的整體知識(shí)框架圖和研究路徑如圖1所示.

（2）《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022版）》（以下簡(jiǎn)稱

《課標(biāo)（2022版）》）中對(duì)矩形判定的內(nèi)容要求是：探索并證明矩形的判定定理，即定理1——三個(gè)角是直角的四邊形是矩形，定理2——對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形.教材中提倡學(xué)生自己對(duì)定理1完成證明，對(duì)定理2則給出了詳細(xì)的證明過程.但定理的探究需要經(jīng)歷“發(fā)現(xiàn)—猜想—驗(yàn)證—表述”的過程，教材中的設(shè)計(jì)并不能體現(xiàn)探究的過程，也不能體現(xiàn)學(xué)生的主動(dòng)性.

初中階段的幾何定理的教學(xué)具有一定的模式，可歸納為如圖2所示的過程.

基于以上兩點(diǎn)思考，筆者對(duì)本節(jié)課的內(nèi)容進(jìn)行了再設(shè)計(jì)，下面展示3個(gè)具體的教學(xué)片段.

2 教學(xué)內(nèi)容展示

2.1 基于“整體建構(gòu)”的引

個(gè)人思考：教材中對(duì)于判定定理的引入缺少說明.

矩形為特殊平行四邊形，在學(xué)習(xí)了矩形的定義和性質(zhì)之后將繼續(xù)展開研究，研究什么呢？因?yàn)閷W(xué)生已有平行四邊形的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，那么在引入時(shí)可以利用學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)，建構(gòu)矩形整體研究路徑.

教學(xué)再設(shè)計(jì)：

環(huán)節(jié)：研究思路構(gòu)建.

問題1 回顧矩形已學(xué)知識(shí)：矩形的定義和性質(zhì).

追問1：后續(xù)研究什么？

預(yù)設(shè)：類比平行四邊形的研究路徑，矩形也沿著“概念—性質(zhì)—判定—應(yīng)用”的路徑展開研究.

追問2：是否已經(jīng)有矩形的判定方法？

預(yù)設(shè)：根據(jù)定義，有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形.

追問3：除去定義，是否存在其他證明和判定矩形的方法？根據(jù)已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，該如何進(jìn)行研究？

預(yù)設(shè)：通過矩形性質(zhì)的逆命題得出猜想，再經(jīng)過證明得到判定定理.

設(shè)計(jì)意圖：教師的教學(xué)，不僅要講授知識(shí)，更要提高學(xué)生思維品質(zhì).本節(jié)課的設(shè)計(jì)通過類比平行四邊形的研究過程得出矩形的研究路徑，明確在定義和性質(zhì)學(xué)習(xí)后將開展判定的學(xué)習(xí)，而判定的學(xué)習(xí)是基于定義和性質(zhì)逆命題的角度展開的，因此矩形判定定理的學(xué)習(xí)也將按此方法來進(jìn)行．

2.2 基于“過程經(jīng)歷”的探

教材設(shè)計(jì)2：同片段1.

個(gè)人思考：定理的探究需要經(jīng)過“發(fā)現(xiàn)—猜想—驗(yàn)證—表述”的過程，教材的設(shè)定無法體現(xiàn)探索學(xué)習(xí)的具體過程，也無法體現(xiàn)學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)的主動(dòng)性.

教學(xué)再設(shè)計(jì)：

環(huán)節(jié)1：從性質(zhì)逆命題的角度猜想判定方法.

問題1 類比平行四邊形判定的學(xué)習(xí)，已知判定和性質(zhì)是互為逆命題的，因此可以從這個(gè)角度展開對(duì)矩形判定的研究.矩形的性質(zhì)逆命題是什么？

生1：“矩形的四個(gè)角都是直角”的逆命題是“四個(gè)角是直角的四邊形是矩形”.

師：因?yàn)槎x具有雙重性，根據(jù)四邊形ABCD是矩形我們可以推出它是一個(gè)平行四邊形且有一個(gè)角是90°，進(jìn)而可以推出四邊形ABCD的四個(gè)角都為90°，它們具有“等價(jià)的關(guān)系”，故而，能夠得到結(jié)論，即逆命題成立.

生2：“矩形的對(duì)角線相等”的逆命題是“對(duì)角線相等的四邊形是矩形”.

生3：“矩形的對(duì)角線相等”的逆命題是“對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形”.

追問1：哪個(gè)同學(xué)對(duì)呢？

追問2：在對(duì)角線相等的前提下，要判定四邊形是矩形，需要加上“平行”兩個(gè)字嗎？

生4：等腰梯形是一個(gè)很好的反例，所以要加上“平行”兩個(gè)字.

師：矩形不但具備平行四邊形對(duì)角線平分的性質(zhì)，還具備其所特有的對(duì)角線相等的性質(zhì)，故而根據(jù)矩形對(duì)角線相等的性質(zhì)，能夠通過其逆命題得到矩形的判定定理——對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形.

設(shè)計(jì)意圖：借助判定是性質(zhì)的逆命題的角度對(duì)矩形的判定定理展開猜想.

環(huán)節(jié)2：從定義的角度推理論證平行四邊形的判定定理.

問題2 以上是矩形判定方法的猜想，這兩類猜想你能證明嗎？

證明兩個(gè)判定定理.（學(xué)生自主探索，過程略.）

環(huán)節(jié)3：梳理形成定理.

（1）文字語言：三個(gè)角都是直角的四邊形是矩形.

符號(hào)語言：

∵∠A=∠B=∠C=90°，

∴四邊形ABCD是矩形.

（2）文字語言：對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形.

符號(hào)語言：

∵如圖3，在ABCD中，AC=BD，

∴四邊形ABCD是矩形.

判定定理梳理流程圖如圖4所示.

設(shè)計(jì)意圖：通過探究中的類比、猜想、分析等手段，學(xué)生充分體驗(yàn)得出結(jié)論的過程.

2.3 基于“知識(shí)融合”的練

教材設(shè)計(jì)3：

個(gè)人思考：（1）利用判定定理來解決問題，選取的例題要具有方法的多樣性，最佳的題型是本課堂學(xué)到的三類定理都能夠靈活運(yùn)用.（2）選用生活情境題，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)來源于生活又應(yīng)用于生活的理念.

教學(xué)再設(shè)計(jì)：矩形判定定理的運(yùn)用.

例1 如圖6，BC是等腰三角形BED的底邊ED上的高線，四邊形ABEC是平行四邊形.求證：ABCD是矩形.（教材第117頁第4題.）

證法1：∵△BED是等腰三角形且BC是底邊ED上的高線，

∴CE=CD.

∵四邊形ABEC是平行四邊形，

∴AB=CE，AB∥CE.

∴AB∥CD，且AB=CD.

∴四邊形ABCD為平行四邊形.

∵BC是底邊ED上的高線.

∴∠BCD=90°.

∴平行四邊形ABCD為矩形

（有一個(gè)角是90°的平行四邊形是矩形）.

證法2：∵四邊形ABEC是平行四邊形.

∴AB=CE，BE=AC，AB∥CE.

∵△BED是等腰三角形且BC是底邊ED上的高線，

∴CE=CD.

∴AB∥CD，且AB=CD.

∴四邊形ABCD為平行四邊形.

∵△BED是等腰三角形，且BE=BD.

∴BD=AC.

∴平行四邊形ABCD為矩形（對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形）.

例2 亮亮從淘寶上購買了一個(gè)書架，如圖7，想知道這個(gè)書架是否是矩形書架，你能幫他想想辦法嗎？

預(yù)設(shè)：（1）用直角三角尺分別測(cè)量畫框的三個(gè)角是否是直角；（2）通過測(cè)量四邊形的兩組對(duì)邊的長(zhǎng)度，判斷四邊形是否是平行四邊形，然后依據(jù)測(cè)量得出對(duì)角線的長(zhǎng)度確認(rèn)是否為矩形.

設(shè)計(jì)意圖：①通過教師的示范，教會(huì)學(xué)生有邏輯地判斷一個(gè)四邊形是否為矩形；②加強(qiáng)對(duì)矩形判定定理的理解；③例題具有方法的多樣性，本節(jié)課所學(xué)的三條判定定理均可使用；④借助生活實(shí)際情境題，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)來源于生活又應(yīng)用于生活的理念.

3 教學(xué)反思與啟示

《課標(biāo)（2022版）》中提到：對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)科的教學(xué)，應(yīng)以學(xué)生為主體，創(chuàng)造能夠幫助學(xué)生自學(xué)的情境，帶領(lǐng)學(xué)生通過探索等形式，學(xué)到數(shù)學(xué)的思想等內(nèi)容，持續(xù)提升發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力.在實(shí)際案例的再設(shè)計(jì)中，筆者運(yùn)用已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)對(duì)知識(shí)整體架構(gòu)進(jìn)行搭建.矩形判定定理的探索過程正是學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、經(jīng)歷問題解決的過程，體現(xiàn)了定理學(xué)習(xí)的典型性.

3.1 重路徑建構(gòu)，提升自主學(xué)習(xí)力

史寧中曾言，數(shù)學(xué)學(xué)科學(xué)習(xí)的終極目的是使學(xué)習(xí)的人會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光看待世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維探究世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界.然而該能力的得到，需要學(xué)生在學(xué)習(xí)階段有意采用數(shù)學(xué)的方式對(duì)所遇問題進(jìn)行處理，不斷積累經(jīng)驗(yàn)，并用于新情境，具有整體和發(fā)展的眼光.

矩形是特殊的平行四邊形，需要在平行四邊形的基礎(chǔ)上展開研究.“幾何教類比”——特殊平行四邊形的研究路徑可以通過類比平行四邊形的研究獲得.

實(shí)際上，數(shù)學(xué)知識(shí)間具有聯(lián)系，數(shù)學(xué)問題的研究方式也具有一致性.所以在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，要進(jìn)行整體建構(gòu)的教學(xué)思考，可以將單課的研究納入章節(jié)的研究體系，也可以將前后的知識(shí)進(jìn)行類比學(xué)習(xí)，還可以通過活動(dòng)培養(yǎng)學(xué)生用已習(xí)得的研究問題的方式經(jīng)歷新的研究對(duì)象的探究過程.

例如，在有理數(shù)的學(xué)習(xí)過程中建構(gòu)研究路徑：

引入負(fù)數(shù)—有理數(shù)的概念—有理數(shù)的性質(zhì)—有理數(shù)的運(yùn)算—有理數(shù)的應(yīng)用.因此，

在實(shí)數(shù)的學(xué)習(xí)中就可以沿著這樣的路徑自主地對(duì)實(shí)數(shù)進(jìn)行研究：

引入無理數(shù)—實(shí)數(shù)的概念—實(shí)數(shù)的性質(zhì)—實(shí)數(shù)的運(yùn)算—實(shí)數(shù)的應(yīng)用.

在學(xué)習(xí)新知識(shí)的過程中，根據(jù)已有的知識(shí)及經(jīng)驗(yàn)，經(jīng)過類比學(xué)習(xí)的方式輔助學(xué)生學(xué)到相應(yīng)的內(nèi)容，可以使學(xué)生形成對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)思維，將認(rèn)知差距有效縮短，使認(rèn)知方式更為明確，從而增強(qiáng)實(shí)際的學(xué)習(xí)效果，提高學(xué)生自主學(xué)習(xí)力.

3.2 重過程經(jīng)歷，提升自主研究力

初中需要學(xué)習(xí)的定理，核心多為幾何內(nèi)容，這些定理旨在闡釋數(shù)學(xué)定義間存在的實(shí)質(zhì)性關(guān)聯(lián)，這是開展正確推斷的依據(jù)，同時(shí)也是證明方法的依據(jù)，是初中數(shù)學(xué)重要的教學(xué)內(nèi)容.傳統(tǒng)的定理教學(xué)存在著輕探究、重結(jié)論和重應(yīng)用的現(xiàn)象，而本節(jié)課的教學(xué)再設(shè)計(jì)，通過對(duì)原有的平行四邊形的知識(shí)框架的建構(gòu)，經(jīng)歷矩形的探究過程，特別是矩形判定定理的學(xué)習(xí)經(jīng)過“引入—發(fā)現(xiàn)—猜想—驗(yàn)證—表述—應(yīng)用”的完整過程.在應(yīng)用環(huán)節(jié)，精心設(shè)計(jì)例題，將前后問題進(jìn)行關(guān)聯(lián)，提煉和整合內(nèi)在的知識(shí)結(jié)構(gòu)聯(lián)系，提升學(xué)生對(duì)關(guān)聯(lián)知識(shí)的理解度；設(shè)置梯度問題，經(jīng)過分析解決，經(jīng)歷對(duì)比整理的過程，實(shí)現(xiàn)課堂教學(xué)內(nèi)容與形式的真正統(tǒng)一.

幾何類比學(xué)習(xí)的路徑具有四個(gè)典型的過程，如圖8所示.

定理教學(xué)的這四個(gè)過程也是一般定理學(xué)習(xí)的過程，對(duì)學(xué)習(xí)其他定理具有積極的指導(dǎo)意義.在整個(gè)探究過程中，不僅提升解題能力，更為重要的是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)推理、邏輯思維能力和創(chuàng)新意識(shí)，教會(huì)學(xué)生使用數(shù)學(xué)的視角看待世界，使用其思維探究世界，運(yùn)用其語言表述世界.因此，在知識(shí)學(xué)習(xí)過程中更需要讓學(xué)生經(jīng)歷探究過程，從重視知識(shí)掌握轉(zhuǎn)向重視能力發(fā)展.故而在實(shí)際的教學(xué)中，還應(yīng)當(dāng)開展探索性的活動(dòng)，使學(xué)生感受提出問題、發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的過程，積累實(shí)踐學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)，提高自身的思維品質(zhì).