基于三個策略的教學設計探索

【摘要】平方差公式是多項式乘以多項式的特殊形式。在公式教學中采取整體性策略、活動性策略、數學審美策略，將數學抽象、直觀想象等核心素養的培養落到實處，對學生后續學習具有重要意義。本文以人教版八年級上冊第十四章第二節“乘法公式”的第一課時“平方差公式”的教學為例進行研究。

【關鍵詞】平方差公式；三個策略；核心素養

作者簡介：秦玉紅（1970—），女，新疆維吾爾自治區昌吉回族自治州昌吉市第七中學。

一、三個策略概述

其一是整體性策略。根據認知教育心理學家奧蘇貝爾的認知同化理論，學習需以已有的認知結構為基礎，學習的過程是新舊知識相互作用的過程。基于整合協調原則，采取整體性策略，讓學生進行知識的建構，能夠轉變學生原來只能理解與應用零散的知識點的模式。

其二是活動性策略。遵循教育家杜威“從做中學”原則，采取活動性策略，讓學生在動手操作的活動中學習，手腦并用，能夠幫助學生積累數學活動經驗，培養學生的數學核心素養。

其三是數學審美策略。采取數學審美策略，需要教師讓學生在學習與運用公式的過程中感受數學的簡潔美，激發學生追求真善美的欲望，提高學生的審美能力。

二、教學目標及教學重難點

本課的教學目標為：1.讓學生了解平方差公式的形成過程，能夠用代數和幾何方法證明平方差公式；2.讓學生掌握平方差公式的結構特征，學會靈活運用平方差公式進行計算（教學重點），體會平方差公式結構的不變性和字母的可變性（教學難點）；3.讓學生總結平方差公式的研究方法，理清研究平方差公式的基本思路，為后續研究完全平方公式打好基礎［1］。

三、基于三個策略的教學過程

（一）創設情境，導入新課

例題1：小明陪媽媽去菜店，買了3.8千克單價是4.2元的青菜。售貨員還沒有說出應付的金額，小明就脫口而出“應付15.96元”。媽媽吃驚地問他怎么算得這么快，小明說他用了昨天學的一個數學公式。你們知道小明是如何又快又準地算出結果的嗎？

設計意圖：創設貼近生活的問題情境，旨在設置懸念，引發學生思考，提升學生學習的興趣，激發學生運用數學知識解決實際問題的欲望。

（二）溫故知新，探索新知

例題2：計算（1） （x+1） （x+2）；（2） （x+1） （x-1）；（3）（m+2） （m-3）；（4） （m+2） （m-2）；（5） （2 x +1） （2 x +1）；（6） （2 x +1） （2 x -1）。然后思考下列問題：1.請觀察以上多項式乘以多項式的計算結果，說說你有什么發現？（追問：具有什么特征的二項式相乘結果是二項式？）2.試著將你的發現用含有字母的式子表示出來。（追問：你能說出每個字母的含義是什么嗎？）

設計意圖：教師引導學生先對具體的式子進行觀察、思考和歸納，再把式子中的數字換成字母，試著概括出平方差公式，借助語言和符號進行表達，可以讓學生經歷從特殊到一般、從具體到抽象的過程，對平方差公式形成初步的認識，從整體性的角度，提升學生的數學抽象能力，為證明、應用平方差公式做

鋪墊。

（三）進行猜想，證明規律

例題3：猜想“（a+b） （a-b） =？”，用自己的話說一說，試著證明你的猜想。（追問：“（a+b） （a-b）”與多項式乘以多項式的法則中的“（a+b） （c+d）”有什么區別和聯系？從數、符號、項等角度分析公式的結構特征是什么。）

設計意圖：在學生運用代數方法概括出公式之后，強調公式結構的不變性和字母的可變性，可以為他們運用公式進行計算提供理論根據。回歸多項式乘以多項式的本質，可以讓學生經歷從一般到特殊的過程，體會特殊形式的簡潔性。

（四）動手實踐，幾何驗證

例題4：（1）由a2和b2，你能聯想到什么？你能用幾何圖形表示a2-b2嗎？（預設學生畫出的圖形如圖1-1所示。）（2）由（a+b） （a-b），你又能聯想到什么？你能把圖1-1的圖形轉化成長和寬分別為（a+b）和（a-b）的長方形嗎？請動手剪一剪，拼一拼。（預設學生畫出的部分圖形如圖1-2、圖1-3所示。）（3）請問圖1-1與圖1-2、圖1-3的圖形面積有什么關系？你能根據所得的結論驗證平方差公式嗎？（4）你知道中國古代的數學家是怎么推導平方差公式的嗎？（教師告訴學生早在很多年前，趙爽就用面積割補法證明了平方差公式的正確性。）

設計意圖：在這一環節，教師設計層層遞進的問題，讓學生進行深度思考與探究；開展數學實驗活動，讓學生動手實踐，借助幾何直觀進一步理解平方差公式的幾何意義；引導學生運用面積割補法來證明平方差公式，滲透數形結合思想，可以培養學生的直觀想象素養，幫助學生養成多角度思考問題的習慣，提高邏輯思維能力。此外，教師引入有關平方差公式的數學史，可以拓展學生的知識面，激發學生的學習動機，培養學生的愛國情操。

（五）典例精析，應用新知

練習1：計算（1） （3x+2） （3x-2）；（2） （x+2y） （x-2y）。

然后思考下列問題：平方差公式中的a、b代表什么？運用平方差公式進行計算的一般步驟是什么？

設計意圖：在學生解題的過程中，教師再次強調平方差公式中的a、b的意義，滲透換元思想，總結計算的步驟，有利于學生規范地解答相關題目，提高書寫的條理性。

練習2：下列多項式乘以多項式的式子中，能用平方差公式計算的是（ ）

A. （x+y） （x-y）

B. （-x+y） （-x-y）

C. （-x+y） （x+y）

D. （-x-y） （x-y）

E. （x-y） （y-x）

F. （x+y） （-x-y）

G. （m+n+p） （m+n+p）

H. （m+n+p） （m+n-p）

設計意圖：教師設計這道練習題，以此讓學生在觀察、交流和思辨的過程中明確平方差公式的結構特征，加深對平方差公式結構的不變性和字母的可變性的認識，了解運用平方差公式的條件。

練習3：計算103×97

設計意圖：教師設計這道練習題，旨在讓學生嘗試運用平方差公式進行簡便計算，鞏固所學知識。

練習4：請在下面第1個括號內填上1個二項式，并用平方差公式進行計算。

（3a-5b） （ ） = （ ） 2- （ ） 2=

設計意圖：教師設計這個開放性問題，可以積累學生運用平方差公式的活動經驗，讓學生掌握正向、逆向運用平方差公式的條件。

練習5：計算（1） （2+1） × （22+1） × （24+1） ×（28+1） +1；（2） （3+1） × （32+1） × （34+1） × （38+1）。

設計意圖：教師設計拓展提升的練習內容，有利于發散學生的思維，讓學生把握公式的結構特征，培養學生的轉化能力，實現學生深度學習。

之后，教師讓同桌之間相互出題。其中一名學生需要根據平方差公式的結構特征編題，另一名學生需要先判斷題目是否符合公式的特征，然后做題；做完后，由編題的學生進行批改。

設計意圖：學習公式需要學生理解和記憶運用公式的條件。學生在出題的過程中，先找到運用公式的條件，再借助公式的模型設計題目，有利于掌握公式。

教師利用剩下的課堂時間讓學生圍繞“導入環節的例題1中小明是如何算出結果的？”這一問題進行小組討論。［預設學生的答案為：3.8×4.2= （4-0.2） ×（4+0.2） =42-0.04=15.96。］

設計意圖：首尾呼應，讓學生熟練掌握平方差公式的結構特征，感受數學的簡潔美。

四、反思

“平方差公式”一課是“乘法公式”這一節的起始課，在進行教學設計時基于本章“整式的乘法與因式分解”整體教學的內容，有利于學生對多項式乘以多項式的計算方法形成更全面的認識，把握包括平方差公式在內的這一類數學公式的共同特征［2］。學生通過觀察、猜想、證明、實踐等方式，從整體性視角探索規律，借助幾何圖形分析公式的幾何意義，可以加深對公式的理解，實現數與形的轉化［3］。

精心設計數學活動，有利于突破教學的重難點，向學生滲透數學思想。開展關于平方差公式的問題思考、規律證明、實驗探究、知識應用等活動，能夠讓學生認識平方差公式的由來和內涵，積累從特殊到一般、從具體到抽象的數學活動經驗，發展數學抽象素養。在平方差公式的教學中，教師不僅從數的角度對公式進行了推導，從幾何的角度證明了公式的正確性，而且借助圖形直觀地呈現了公式的結構特征。這有助于學生提升數形結合的能力，發展直觀想象素養。

運用數學公式可以為解決問題提供簡便的方法。學生在問題引導下能夠發現，運用平方差公式進行計算的結果會比一般的多項式乘以多項式的結果更加簡潔，初步感受數學的簡潔美。在應用新知環節，學生在運用平方差公式的過程中體會到了公式給運算帶來的便捷性，進一步感受計算結果的簡潔美。

教學即指導，學習即研究。兩者的關系為“以研定導、以導促研、導研耦合”。具體來說，“以研定導”主要是以學生現有的知識水平和最近發展區為基礎，制訂教學目標，設計教學內容，選擇教學方式，進行教學評價。換言之，教師不應喧賓奪主，把自己的觀點強加給學生，而應根據學生的知識基礎，以及他們在研究時可能會遇到的困難，決定應該如何指導，指導到何種程度。“以導促研”是指由于學生在研究中常常會遇到困難，因此教師的指導是必不可少的。教師給予學生適時、合理的指導不是為了快速地傳授知識，訓練學生的解題技能，而是為了暗示學生研究的思路和策略，讓學生通過教師的指導，提高自身的研究能力。“導研耦合”是指教師與學生、學生與學生之間應該相互作用，相互影響，從而提高教與學、導與研的匹配程度，使教學效益最大化。

學生經過小學階段的數學學習，已經掌握了基本的數學理論知識。但是有的學生往往不能靈活地運用數學知識解決實際問題。采取三個策略，讓學生經歷“實踐—理論—實踐”的過程，不僅能夠幫助他們更好地掌握基礎知識，掌握數學的思想、方法和語言，還能提高他們發現問題、分析問題和解決問題的能力，讓他們樹立正確的數學觀，全面地認識數學。傳統的教學大多是以教師為主體的“滿堂灌”式的教學。采取三個策略，能夠讓教師由課堂的主導者轉變為引導者，讓學生由聆聽者轉變為思考者，由知識的接受者轉變為知識的探索者。做好教師和學生在角色上的轉變，能夠將“教是為了不教”“授人以魚不如授人以漁”落到實處。

【參考文獻】

［1］傅蘭英.基于認知結構的教學設計：以“平方差公式”的教學設計為例［J］.中國數學教育，2021

（17）：35-39.

［2］歐陽勇.深入鉆研教材 讓導入課切實有效：以人教版《平方差公式》的導入為例［J］.中小學教學研究，2013（11）：15-17.

［3］張東.數學核心素養視角下公式教學的思考與實踐［J］.中國數學教育，2018（19）：3-5.