提高初中生利用“一元二次方程”解決實際問題能力的教學研究

廣西北流市沙垌鎮初級中學 岑平海

在初中數學中，“一元二次方程”是一個非常重要的學習內容，特別是用它來解決實際生活當中的問題，非常有效，而且只要熟練掌握，可以為我們的生活帶來極大的方便。然而，“一元二次方程”對初中學生而言又是一個比較難學的數學內容，因此老師需要通過故事引導激發學生學習興趣、舉一反三提高學生應變能力、挖掘現實引導學生學以致用這三個步驟，來培養和提高初中生運用“一元二次方程”解決實際問題的能力。

本文以人教版九年級上學期的數學課本為參考，分析如何提高初中生利用“一元二次方程”解決實際問題的能力。

一、故事引導，激發學生學習興趣

愛聽故事是每個人的天性，對初三的學生而言，隨著他們學習壓力進一步增大，像數學中“一元二次方程”這樣比較難學且枯燥的內容，他們的學習興趣往往會受到壓制，因此我們可以通過形式各樣的數學故事，來引起他們對“一元二次方程”的關注，激發他們的學習興趣。故事教學法有利于為學生創設趣味的學習情境，使學生產生強烈的求知欲，從而提高學生自主探索、創造、思考的能力。

如在講解“一元二次方程”時，我們可以為學生講解關于“一元二次方程”由來的故事：方程這個名詞最早見于中國古代數學著作《九章算術》，它成書于東漢末年，書中記錄了246個實際應用問題的計算解決方法。《九章算術》一共分為九章，“方程”是其中的一部分，對于“方程”的解釋，中國古代數學家劉徽作了經典注釋：“程，課程也。二物者二程，三物者三程，皆如物數程之，并列為行，故謂之方程。”這里所說的“如物數程之”意思是指“有幾個未知數，就需要列出幾個等式”。對于一次方程組而言，因為它每個未知數的系數如果用“算籌”（一根根同樣長短和粗細的小棍子）來表示，就如同方陣，因此被稱作是“方程”。

在《九章算術》勾股章中的第20題，有這樣一個問題：“今有邑方不知大小，各中開門，出北門二十步有木，出南門十回步，折而西行一千七百七十五步見木。問邑方幾何。”用今天的話說，大意是：如圖1，DEFG是一座正方形小城，北門H位于DG的中點，南門K位于EF的中點，出北門20步到A處有一樹木，出南門14步到C，再向西行1775步到B處，正好看到A處的樹木（即點D在直線AB上），小城的邊長為 步。

圖1

提示：因為△AHD、△ACB它們都是直角三角形，所以它們是相似三角形，這里我們可以用到初中八年級所學到的知識“相似三角形比例關系公式”，即如果兩個三角形是相似三角形，其中一個三角形的三邊分別為A、B、C，另一個三角形的三邊為M、N、X，那么我們可以得到A:M=B:N=C:X。然后再結合我們學習到的一元二次方程的知識，這道題是不是很容易求解呢？

總結：這道題看起來很難，但是經過分析我們發現，只要我們充分利用好“相似三角形比例關系公式”和“一元二次方程”的相關知識，這道題就會迎刃而解。通過這道題，既可以讓學生從故事中感受到我國古人的高度智慧和才華，感受到中華民族的偉大，也鍛煉了他們運用“一元二次方程”知識解決實際問題的能力。

圖2

總之，通過關于“一元二次方程”故事的引入，可以讓學生知道“一元二次方程”的起源、發展、衍變過程，認識到歷代數學家曾經在對這個問題上進行了無數努力，付出了辛勤的汗水，激勵學生們樹立一種鍥而不舍的數學探究精神，并引發他們對數學科學的濃厚興趣，提高他們對“一元二次方程”的應用能力。

二、舉一反三，提高學生應變能力

在學習初中數學時，舉一反三、靈活變通是學生必備的一種數學思維和解題能力，這對于提高學生的數學素養、鞏固他們的數學基礎，有著十分重要的作用。那么，在初中數學課堂教學過程中，該怎樣培養學生應用“一元二次方程”解決實際問題的“舉一反三”能力呢？這就要求老師善于對問題進行歸類，讓他們在解決實際問題過程中，既能夠掌握基本的理論知識，做到“知其然”，又掌握到類似問題的解題思路和方法，做到“知其所以然”，讓他們跳出原來的思維束縛，對同類問題能夠舉一反三，提高解題效率和準確度。

對于一元二次方程應用題而言，主要有四個類別：增長率問題、行程問題、經濟問題、工程問題，不同類別的題目都有相應固定的解題思路和方法，但解題的步驟萬變不離其宗，都有六個步驟：（1）仔細審題，明確題意；（2）找出已知量和未知量以及相等關系；（3）設未知數；（4）用所設未知數表示相關的量；（5）列等式；（6）解方程；（7）檢驗所得的根是否符合題意和實際要求。

如這樣一個題目：某商店購進一種商品，進價30元，試銷中發現這種商品每天的銷售量P(件)與每件的銷售價X(元)滿足關系：P=100-2X，若商店每天銷售這種商品要獲得200元的利潤，那么每件商品的售價應定為多少元？每天要售出這種商品多少件？

分析：很明顯這是一個關于“一元二次方程”的經濟問題求解，題目中已經給出了一個等量關系：P=100-2X，因此我們可以圍繞這個關系來找到解決問題的突破口。已知量：進價30為元，每天的利潤為200元，未知量：每件的售價，每天售出的件數。

提示：利潤=售價-進價，總利潤=單件商品利潤×所售商品件數

解題思路和過程：我們可以設每件的售價為x元，那么每天的銷售量則為(100-2x)件，單件的利潤為(x-30)，所以總的利潤為(x-300)(100-2x)元，因此我們可以得到一元二次方程：(x-300)(100-2x)=200，經過整理得到：x-350x-15000=0，解這個方程即可得到答案。需要注意的是100-2x≥0，x≥0，所以x的取值范圍是0≤x≤50。

當老師引導學生把上述題目解決后，可以再出一道同類型的題目，讓學生經過獨立思考進行解答，從而培養他們舉一反三的數學解題能力。

如：某商店將進價為8元的商品按每件10元售出，每天可銷售200件，現在采用提高商品售價減少銷售量的辦法增加利潤，如果這種商品按每件的銷售價每提高0.5元其銷售量就減少10件，問應將每件售價定為多少元時，才能使每天利潤為640元？

分析：這也是一個關于“一元二次方程”的經濟問題，已知量：進價8元，提高售價前的售價為10元，銷售件數為200件，總利潤為640元，并且還知道每件的銷售價每提高0.5元其銷售量就減少10件，未知量：提高售價后每件商品的定價。

同樣的，關于“一元二次方程”的增長率問題、行程問題、工程問題，我們也可以通過同類題型的歸納總結，訓練學生“舉一反三”用數學解決實際問題的能力。

三、挖掘現實，引導學生學以致用

培養和提高初中生利用“一元二次方程”解決實際問題的能力，實際上是鍛煉初中生對數學科學知識“學以致用”的能力。學以致用，對初中生而言是一個十分重要的學習應用技能。初中生在生理上正處于青春發育期，這一時期他們的最大特點是：生理上蓬勃成長、急驟變化，智力迅速發展，情緒和情感的內容十分豐富，心理的穩定性也在逐步提高。因此，培養和提高他們“學以致用”的能力，可以為他們今后的學習和生活，乃至人生發展奠定非常重要的基礎。

數學作為一門基礎性的學科，和我們的日常生活息息相關，“學以致用”的需求性更強，因此老師在講解“一元二次方程”問題時，要特別注意從現實生活中挖掘有意思的數學問題，和“一元二次方程”掛鉤，從而提高初中生利用“一元二次方程”解決實際問題的能力。

如有這樣一個問題：微信紅包是溝通人們之間感情的一種方式，已知小明在2016年“元旦節”收到微信紅包為300元，2018年為675元，若這兩年小明收到的微信紅包的年平均增長率為x，根據題意可列方程為________。

分析：很明顯這是一個關于“一元二次方程”增長率的數學應用問題，同時和我們日常生活緊密相關。已知量：2016年和2018年元旦收到的紅包錢數分別為300元、675元，并且題目已經設出了未知數x(增長率)，因此這個問題很好解決。

提示：增長率=增量/原總量*100%

解題思路和過程：增長率為x，2016年元旦節的紅包為300元，那么2017年元旦節的紅包為300（1+x）元，2018年元旦節的紅包為300（1+x）元，因此我們可以列出等式：300（1+x）=675。

除了微信紅包問題，新冠肺炎更是當今社會關注的熱點話題，我們可以將其和“一元二次方程”數學問題緊密結合起來。如：有一個人患了新冠肺炎，經過兩輪傳染后共有169人患了新冠肺炎，每輪傳染中平均一個人傳染了____個人。

分析：這是一個關于“一元二次方程”的傳播問題，已知量：兩輪傳染后新冠肺炎的感染人數，未知量：平均一個人傳染的人數。

提示：一元二次方程傳播問題公式 為：a（1±χ）=b，a為 基 準 量，也就是變化之前的量；b為變更量，即：變化之后的量；χ為增長率（也可以為降低率，此時χ前面是負號）。

解題思路和過程：設平均一個人傳染的人數為x人，那么第一輪傳染后的總人數為（1+x）人，第二輪傳染后的總人數為（1+x）人，因此可以得到等式：（1+x）=169，解得x=12（取正值），因此每輪傳染中平均一個人傳染了12個人。

四、結語

總之，利用“一元二次方程”解決實際問題是初中生必須要掌握的重要技能之一，只要我們通過故事引導、舉一反三、緊密聯系現實這幾種常用的數學教學方法，就能夠提高初中生對于“一元二次方程”問題的學習興趣，提高他們舉一反三、學以致用的數學應用思維和能力，為他們今后的學習和生活打下堅實的基礎。希望通過我們全體數學老師的共同努力，繼續探索更多、更好、更加創新的利用“一元二次方程”解決數學實際問題的數學教學方案，從而提高初中數學的教學水平和質量。